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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:44 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von R nach R, vom höchstgrad 2, das heißt, der raum aller funktionen f
f(x) = [mm] c_0 [/mm] + [mm] c_1 [/mm] x + [mm] c_2 x^2
[/mm]
mit [mm] c_0 [/mm] , [mm] c_1 [/mm] , [mm] c_2 [/mm] € R, für alle x € R. Für eine feste reelle zahl t und alle x € R, definiert man
[mm] g_1 [/mm] (x) = 1 , [mm] g_2 [/mm] (x) = x+t , [mm] g_3(x) [/mm] = [mm] (x+t)^2
[/mm]
Zeigen sie, dass B = [mm] {g_1 , g_2 , g_3 } [/mm] eine basis für V ist und bestimmen sie die koordinaten von f € V in B. |
hi zusammen,
mein ansatz war folgender:
[mm] a*g_1 [/mm] (x) + [mm] b*g_2 [/mm] (x) + [mm] c*g_3 [/mm] (x) = 0
dann mal [mm] x_1= [/mm] 0 , [mm] x_2=1, x_3=2 [/mm] gesetzt und folgendes LGS bekommen
[mm] \pmat{ 1 & t & t^2 \\ 1 & 1+t & (1+t)^2 \\ 1 & 2+t & (2+t)^2}
[/mm]
das hab ich in zeilenstufenform gebracht und das raus bekommen
[mm] \pmat{ 1 & t & t^2 \\ 0 & -1 & -2t-1 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
die matrix hat also vollen rang somit ist [mm] g_1 [/mm] , [mm] g_2 [/mm] , [mm] g_3 [/mm] eine Basis von V, also a=b=c=0.
stimmt das soweit ?
falls ja, mit dem 2ten teil der frage komme ich nicht klar. ich weiß nicht wie ich die koordinaten bestimmen soll...
wäre nett wenn einer mal kritisch drüberschaut.
mfg
meep
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> Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von R
> nach R, vom höchstgrad 2, das heißt, der raum aller
> funktionen f
>
> f(x) = [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1[/mm] x + [mm]c_2 x^2[/mm]
>
> mit [mm]c_0[/mm] , [mm]c_1[/mm] , [mm]c_2[/mm] € R, für alle x € R. Für eine
> feste reelle zahl t und alle x € R, definiert man
>
> [mm]g_1[/mm] (x) = 1 , [mm]g_2[/mm] (x) = x+t , [mm]g_3(x)[/mm] = [mm](x+t)^2[/mm]
>
> Zeigen sie, dass B = [mm]{g_1 , g_2 , g_3 }[/mm] eine basis für V
> ist und bestimmen sie die koordinaten von f € V in B.
> hi zusammen,
>
> mein ansatz war folgender:
>
> [mm]a*g_1[/mm] (x) + [mm]b*g_2[/mm] (x) + [mm]c*g_3[/mm] (x) = 0
>
> dann mal [mm]x_1=[/mm] 0 , [mm]x_2=1, x_3=2[/mm] gesetzt und folgendes LGS
> bekommen
>
> [mm]\pmat{ 1 & t & t^2 \\ 1 & 1+t & (1+t)^2 \\ 1 & 2+t & (2+t)^2}[/mm]
>
> das hab ich in zeilenstufenform gebracht und das raus
> bekommen
>
> [mm]\pmat{ 1 & t & t^2 \\ 0 & -1 & -2t-1 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> die matrix hat also vollen rang somit ist [mm]g_1[/mm] , [mm]g_2[/mm] , [mm]g_3[/mm]
> eine Basis von V, also a=b=c=0.
>
> stimmt das soweit ?
Hallo,
ja.
>
> falls ja, mit dem 2ten teil der frage komme ich nicht klar.
> ich weiß nicht wie ich die koordinaten bestimmen soll...
Hier ist
f(x) = [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1[/mm] x + [mm]c_2 x^2[/mm]
als Linearkombination von [mm] (1,x,x^2) [/mm] geschreiben.
Du sollst jetzt [mm] \lambda_i [/mm] so bestimmen, daß
[mm] \lambda_1g_1(x)+\lambda_2g_2(x)+\lambda_3g_3(x) [/mm] = [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1[/mm] x + [mm]c_2 x^2[/mm]
Die [mm] \lambda_i [/mm] werden natürlich von den [mm] c_i [/mm] abhängen.
Wenn Du die ausgerechneten [mm] \lambda_i [/mm] in einen Spaltenvektor stapelst, hast Du den Koordinatenvektor von f(x) bzgl der Basis B.
Gruß v. Angela
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> wäre nett wenn einer mal kritisch drüberschaut.
>
> mfg
>
> meep
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
ich weiß nicht ob ich das nun richtig verstanden habe, ich hab mal folgendes gemacht (anstatt [mm] \lambda [/mm] nehm ich k)
[mm] k_1g_1(x)+k_2g_2(x)+k_3g_3(x) [/mm] = [mm] c_0 [/mm] + c_1x + [mm] c_2x^2
[/mm]
[mm] k_1(1)+k_2(x+t)+k_3(x+t)^2 [/mm] = [mm] c_0 [/mm] + c_1x + [mm] c_2x^2
[/mm]
dann mal ausmultipliziert
[mm] k_1 [/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm] k_3x^2 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] 2xt + [mm] k_2 t^2 [/mm] = [mm] c_0 [/mm] + c_1x + [mm] c_2x^2
[/mm]
alles auf eine seite gebracht
[mm] k_1 [/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm] k_3x^2 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] 2xt + [mm] k_2 t^2 -c_0 [/mm] - c_1x - [mm] c_2x^2=0
[/mm]
dann mal ausmultipliziert
[mm] (k_1+k_3t^2 [/mm] - [mm] c_0) [/mm] + [mm] x(k_2+2k_3t-c_1) +x^2(k_3-c_2) [/mm] = 0
also ist [mm] c_0 [/mm] = [mm] k_1+k_3t^2 [/mm] , [mm] c_1 [/mm] = [mm] k_2+2k_3 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] = [mm] k_3
[/mm]
dann hätte ich am ende: f(x) = [mm] k_1+k_3t^2 [/mm] + [mm] (k_2+2k_3)x [/mm] + [mm] k_3x^2
[/mm]
hab ich das also richtig verstanden ?
mfg
meep
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> ich weiß nicht ob ich das nun richtig verstanden habe, ich
> hab mal folgendes gemacht (anstatt [mm]\lambda[/mm] nehm ich k)
>
> [mm]k_1g_1(x)+k_2g_2(x)+k_3g_3(x)[/mm] = [mm]c_0[/mm] + c_1x + [mm]c_2x^2[/mm]
>
> [mm]k_1(1)+k_2(x+t)+k_3(x+t)^2[/mm] = [mm]c_0[/mm] + c_1x + [mm]c_2x^2[/mm]
>
> dann mal ausmultipliziert
>
> [mm]k_1[/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm]k_3x^2[/mm] + [mm]k_2[/mm] 2xt + [mm]k_2 t^2[/mm] = [mm]c_0[/mm] +
> c_1x + [mm]c_2x^2[/mm]
>
> alles auf eine seite gebracht
>
> [mm]k_1[/mm] + 2k_2x + 2k_2t + [mm]k_3x^2[/mm] + [mm]k_2[/mm] 2xt + [mm]k_2 t^2 -c_0[/mm] -
> c_1x - [mm]c_2x^2=0[/mm]
>
> dann mal ausmultipliziert
>
> [mm](k_1+k_3t^2[/mm] - [mm]c_0)[/mm] + [mm]x(k_2+2k_3t-c_1) +x^2(k_3-c_2)[/mm] = 0
Hallo,
bis hierher prinzipiell richtig, nachgerechnet habe ich nichts.
Nun mußt Du aber die [mm] k_i [/mm] ausrechnen, und nicht die [mm] c_i. [/mm] Die [mm] c_i [/mm] sind ja gegeben.
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> also ist [mm]c_0[/mm] = [mm]k_1+k_3t^2[/mm] , [mm]c_1[/mm] = [mm]k_2+2k_3[/mm] und [mm]c_2[/mm] = [mm]k_3[/mm]
>
> dann hätte ich am ende: f(x) = [mm]k_1+k_3t^2[/mm] + [mm](k_2+2k_3)x[/mm] +
> [mm]k_3x^2[/mm]
Du hast hier die umgekehrte Aufgabe gelöst, nämlich wie man die Darstellung bzgl B in Koordinaten bzgl. der Standardbasis [mm] E=(1,x,x^2) [/mm] schreiben kann, die Antwort wäre hier
[mm] f(x)=\vektor{k_1\\k_2\\k_3}_{(B)}=\vektor{k_1+k_3t^2\\k_2+2k_3\\k_3}_{(E)}
[/mm]
>
> hab ich das also richtig verstanden ?
Fast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
ok danke, dann muss es also lauten
[mm] k_1 [/mm] = [mm] c_0-c_2t^2 [/mm]
[mm] k_2= c_1-2c_2 [/mm]
[mm] k_3=c_2
[/mm]
oder ?
mfg
meep
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