basis von bild u. kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi kinders,
ich benoetige von euch noch ein paar erklaerende worte, weil ich das mit der basis des bildes und des kerns noch nicht so recht unterscheiden kann,
wäre nett wenn ihr zu ALLEn loesungsvorschlaegen kurz ein statement abgeben koenntet ...
eine einfache 3x3 matrix :
[mm] \pmat{ 2 & -1 &0\\ 6 & -3 &0\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
diese matrix ist wirklich einfach ...
aber sie dient auch nur dazu mir was zu verdeutlichen ...
also, suche ich die basis des kerns ...
habe ich direkt nach einer umformung
[mm] \pmat{ 2 & -1 0\\ 2 & -1 0\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
da stehen, nun frage numero UNO :
1. Was ist nun die basis des kerns?
ist es
a: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
oder
b: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
oder
c: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
so, teil 2 beschaeftigt sich nun mit der basis des bildes ....
1. gilt a oder c : so muss die basis des bildes ja aus 2 vektoren bestehen
wegen dim kern + dim bild = dim V
2. gilt b so muss die basis des bildes aus EINEM vektor bestehen ...
zu 1 wie wähle ich nun diese basisvektoren des bildes ? schicke ich einfach die einheitsvektoren durch die matrix ?
das wäre dann :
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 0}
[/mm]
so, man sieht aber sofort das diese beiden vektoren linear abhaengig zueinander sind -> also KEINE basis ...
ich komme zu dem schluss, das die basis des bildes lautet : [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
was sagt ihr dazu, wäre echt super wenn ihr relativ ausfuehrlich die punkte abklappen koenntet, das was mich am meisten beschaeftigt ist die frage wie ich zu der basis des bildes ueberhaupt komme, bei dieser matrix war es ja einfach zu sagen [mm] :\vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] ist basis des bildes, aber wie ist das verfahren dazu `?
auch das mit der basis des kerns erschliesst sich mir nicht 100%ig, [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind zwar linear unabhaengig, und schicken alles auf die null, aber so richtig sicher binn ich mir nicht ... und wieso gehoert [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
nicht zu der basis des kerns ...
danke für eure geduld muehe und verständniss
ich habe diese frage nirgendzwo anders gepostet
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Hallo,
"Was ist nun die Basis des Kerns?"
Zuersteinmal sind Basen i.A. nicht eindeutig, deswegen ist es hier genaugenommen nicht ganz richtig, von der Basis zu sprechen; vielmehr suchst du eine Basis
Hast du jedoch eine Matrix A gegeben, so ist eine Möglichkeit, den Kern (der durch die Matrix induzierten Abbildung) zu bestimmen:
Schritt1: Bringe A auf Zeilenstufengestalt/Treppenform mittels elementarer Umformungen.
Das hast du bereits in deinem Posting richtig gemacht und wenn du dann noch Zeile2 von Zeile1 in deinem Zwischenschritt subtrahierst, bekommst du eine Stufengestalt, die so aussehen könnte:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Schritt2: An dieser Gestalt kannst du schon anhand der Nullzeilen ablesen, dass die Dimension des Kerns 2-dimensional sein muss.
Weiterhin löst du folgendes LGS:
2* [mm] x_{1} [/mm] - 1* [mm] x_{2} [/mm] = 0, [mm] 0*x_{3}=0
[/mm]
Freie Variablen kannst du setzen, etwa [mm] x_{2} [/mm] = 2. Daraus folgt sofort [mm] x_{1}=1. x_{3} [/mm] ist beliebig wählbar, weil [mm] 0*x_{3}=0 [/mm] für alle [mm] x_{3} [/mm] erfüllt ist. So kannst du also z.B. [mm] x_{3}=1 [/mm] setzen und bekommst einen 2. Basisvektor.
[Du kannst also folgende Faustregel festhalten: Anz. der freien Variablen = dim Kern]
Somit erhälst du eine mögliche Basis des Kerns: [mm] (\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1})
[/mm]
Aus "dim V = dim Kern + dim Bild" folgt, dass die Dimension des Bildes gleich 1 ist.
Im Allgemeinen ist eine mögliche Vorgehensweise zur Bestimmung eines Basis des Bildraums so:
Schritt1: Du muliplitzierst jeden Vektor der Standardbasis an die Matrix. (Satz: Das Bild einer Basis unter einer linearen Abbildung - und die Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] A*x ist linear, wie du schnell und einfach prüfen kannst - ist ein Erzeugendensystem des Bildraums).
Schritt2:Dann "schmeißt" du die linear abhängigen Bildvektoren raus und alle linear unabhängigen bilden eine Basis des Bildraums.
In deinem Beispiel multiplitzierst du z.B. e1:= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] an die Matrix und bekommst die erste Spalte [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 0} [/mm] heraus. Weil dim Bild = 1, bist du schon fertig. Der Vektor erzeugt den gesamten Bildraum.
Würdest du noch e2 und e3 an die Matrix multiplitzieren, bekämst du Vektoren, die mit [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 0} [/mm] linear abhängig wären.
Ich hoffe, diese Antworten reichen dir zum Verständnis. Anderfalls frag' doch bitte nocheinmal speziell nach!
Mit freundlichen GRüßen verbleibend.
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danke für die ausfuehrliche antwort !!!!
noch 2 tage bis zur nachklausur .. ;)))
> "Was ist nun die Basis des Kerns?"
> Zuersteinmal sind Basen i.A. nicht eindeutig, deswegen ist
> es hier genaugenommen nicht ganz richtig, von der Basis zu
> sprechen; vielmehr suchst du eine Basis
>
ok, das sehe ich ein, in der regel sollte man immer die 'kleinste' basis angeben weil sich das so eingebuergert hat ...
> Hast du jedoch eine Matrix A gegeben, so ist eine
<schipp>
> 2-dimensional sein muss.
>
das siehst du weil die zeilenstufenformmatrix 2 zeilen besitzt die nur aus 0en besteht ...
> Weiterhin löst du folgendes LGS:
> 2* [mm]x_{1}[/mm] - 1* [mm]x_{2}[/mm] = 0, [mm]0*x_{3}=0[/mm]
>
> Freie Variablen kannst du setzen, etwa [mm]x_{2}[/mm] = 2. Daraus
> folgt sofort [mm]x_{1}=1. x_{3}[/mm] ist beliebig wählbar, weil
> [mm]0*x_{3}=0[/mm] für alle [mm]x_{3}[/mm] erfüllt ist. So kannst du also
> z.B. [mm]x_{3}=1[/mm] setzen und bekommst einen 2. Basisvektor.
>
muss das nicht heissen
[mm]1x_{1}=2. x_{2}[/mm]
> [Du kannst also folgende Faustregel festhalten: Anz. der
> freien Variablen = dim Kern]
>
> Somit erhälst du eine mögliche Basis des Kerns: [mm](\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
>
> Aus "dim V = dim Kern + dim Bild" folgt, dass die Dimension
> des Bildes gleich 1 ist.
>
> Im Allgemeinen ist eine mögliche Vorgehensweise zur
> Bestimmung eines Basis des Bildraums so:
>
> Schritt1: Du muliplitzierst jeden Vektor der Standardbasis
> an die Matrix. (Satz: Das Bild einer Basis unter einer
> linearen Abbildung - und die Abbildung x [mm]\mapsto[/mm] A*x ist
> linear, wie du schnell und einfach prüfen kannst - ist ein
> Erzeugendensystem des Bildraums).
> Schritt2:Dann "schmeißt" du die linear abhängigen
> Bildvektoren raus und alle linear unabhängigen bilden eine
> Basis des Bildraums.
>
also ist es doch so einfach, gut danke fuer die info noch einmal, es kam mir irgendwie zu einfach vor, aber
es scheint ja warhaftig so zu sein ..: ;)
> In deinem Beispiel multiplitzierst du z.B. e1:= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> an die Matrix und bekommst die erste Spalte [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ 0}[/mm]
> heraus. Weil dim Bild = 1, bist du schon fertig. Der Vektor
> erzeugt den gesamten Bildraum.
> Würdest du noch e2 und e3 an die Matrix multiplitzieren,
> bekämst du Vektoren, die mit [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ 0}[/mm] linear
> abhängig wären.
>
das habe ich ja auch schon bemerkt ....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Hexe |
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> > Weiterhin löst du folgendes LGS:
> > 2* [mm]x_{1}[/mm] - 1* [mm]x_{2}[/mm] = 0, [mm]0*x_{3}=0[/mm]
> >
> > Freie Variablen kannst du setzen, etwa [mm]x_{2}[/mm] = 2. Daraus
> > folgt sofort [mm]x_{1}=1. x_{3}[/mm] ist beliebig wählbar, weil
> > [mm]0*x_{3}=0[/mm] für alle [mm]x_{3}[/mm] erfüllt ist. So kannst du also
> > z.B. [mm]x_{3}=1[/mm] setzen und bekommst einen 2. Basisvektor.
> >
> muss das nicht heissen
> [mm]1x_{1}=2. x_{2}[/mm]
>
Nein sonder es heisst: [mm]x_1=1.[/mm] [mm]x_3[/mm] ist beliebig wählbar.
Das hast du nur zusammengelesen weil der Abstand zu gering war, da das Layout zwei nacheinander kommende Formeln einfach zusammenschmeisst und dabei den Abstand dazwischen rausnimmt.
Liebe Grüße Hexe
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