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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 So 31.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Geben SIe eine Basis für den Lösungsraum des folgenden linearen Gleichungssystems an:
[mm] 1x_1 [/mm] - 1 [mm] x_2 [/mm] +2 [mm] x_3 [/mm] +3 [mm] x_4 [/mm] = 0
2 [mm] x_1 -4x_3 [/mm] + 4 [mm] x_4 [/mm] = 0
1 [mm] x_1 [/mm] -3 [mm] x_2 [/mm] +10 [mm] x_3 [/mm] + 5 [mm] x_4 [/mm] =0
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Hallo,
ich bin mit dem Basisbegriff etwas unschlüssig
sind das nicht einfach die Spalten der jeweiligen Matrix und dann schaut man welche davon
linear unabhängig sind und wählt diese aus?
hier wären das dann die 4 vektoren:
[mm] \vektor{1\\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1\\ 0 \\ 3 } [/mm] und [mm] \vektor{2\\ -4 \\ 10} [/mm] und [mm] \vektor{3\\ 4 \\ 5}
[/mm]
ich kann keine lineare abhängigkeit erkennen -> also bilden diese 4 vektoren die basis.
stimmt das so?
danke fürs drüberschauen!
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> Geben SIe eine Basis für den Lösungsraum des folgenden
> linearen Gleichungssystems an:
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> [mm]1x_1[/mm] - 1 [mm]x_2[/mm] +2 [mm]x_3[/mm] +3 [mm]x_4[/mm] = 0
> 2 [mm]x_1 -4x_3[/mm] + 4 [mm]x_4[/mm] = 0
> 1 [mm]x_1[/mm] -3 [mm]x_2[/mm] +10 [mm]x_3[/mm] + 5 [mm]x_4[/mm] =0
>
>
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> Hallo,
>
> ich bin mit dem Basisbegriff etwas unschlüssig
>
> sind das nicht einfach die Spalten der jeweiligen Matrix
Hallo,
dürften wir denn die Matrix auch mal sehen? Wir mögen's gern etwas bequem...
> und dann schaut man welche davon
> linear unabhängig sind und wählt diese aus?
Nein. Damit bestimmst Du das Bild der Matrix, ich nenne sie A.
Du aber interessierst Dich für die x mit Ax=0, also den Kern der Matrix.
Den mußt Du ausrechnen.
Aber mal ganz unabhängig davon:
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> hier wären das dann die 4 vektoren:
>
> [mm]\vektor{1\\ 2 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{-1\\ 0 \\ 3 }[/mm] und
> [mm]\vektor{2\\ -4 \\ 10}[/mm] und [mm]\vektor{3\\ 4 \\ 5}[/mm]
>
> ich kann keine lineare abhängigkeit erkennen -> also
> bilden diese 4 vektoren die basis.
Aha. Also hast Du nun einen 4-dimensionalen Unterraum des dreidimensionalen VRes [mm] \IR^3 [/mm] gefunden?
>
> stimmt das so?
Irgendwie nicht, oder?
In dreidimensionalen Räumen haben linear unabhängige mengen höchstens 3 Elemente.
Und nochwas: Du hattest 4 Variable. Wenn Du dann plötzlich ausrechnest, daß der Lösungsraum von Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] aufgespannt wird, solltest Du stutzig werden...
Gruß v. Angela
>
> danke fürs drüberschauen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 31.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok,
die matrix wäre ja dann:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \\ 1 & -3 & 10 & 5}
[/mm]
wenn ich nun den kern bestimmen soll,
ist es dann
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \\ 1 & -3 & 10 & 5} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = 0
?
durch zeilenumformungen komme ich auf:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 &1 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = 0
damit komme ich auf kerA = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0
und was sind dann die basen?
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> ok,
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> die matrix wäre ja dann:
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \\ 1 & -3 & 10 & 5}[/mm]
>
> wenn ich nun den kern bestimmen soll,
> ist es dann
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \\ 1 & -3 & 10 & 5}[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] = 0
> ?
>
>
> durch zeilenumformungen komme ich auf:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 &1 & 0}[/mm] *
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] = 0
>
> damit komme ich auf kerA = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] =0
Nein, der Kern enthält nicht nur diesen Vektor, sondern auch all seine Vielfachen. (Und das =0 dahinter ist Quatsch.)
>
> und was sind dann die basen?
>
Hallo,
die Umformungen hab ich nicht geprüft.
Eine Basis des Kerns, also des Lösungsraumes des homogenen Systems, ist dann der Vektor [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 31.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
entschuldige dass ich mich so blöd angestellt habe,
hab die aufgabe selbst nicht richtig verstanden,
ist aber nun klar, da da ja stand basis des lösungsraumes.
was müsste ich tun, wenn ich die basen der entstehenden matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \\ 1 & -3 & 10 & 5} [/mm] $
berechnen soll?
vielen dank für die hilfe!
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> entschuldige dass ich mich so blöd angestellt habe,
> hab die aufgabe selbst nicht richtig verstanden,
> ist aber nun klar, da da ja stand basis des
> lösungsraumes.
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> was müsste ich tun, wenn ich die basen der entstehenden
> matrix
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \\ 1 & -3 & 10 & 5}[/mm]
>
> berechnen soll?
>
Hallo,
Du mußt die Aufgabenstellung genau formulieren.
Für matrizen gibt es zwei ganz typische Fragen:
Was ist der Kern? Dh. man soll eine Basis des Kerns angeben.
Was ist das Bild? Hier ist eine Basis des Bildes gefordert.
Für beides bringt man die Matrix erstmal auf ZSF - und danach geht's weiter...
Ich zeig' Dir das dann an Deiner ZSF.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 31.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
hallo,
hm ok
von der matrix haben wir ja nun den kern vorher schon bestimmt.
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 &1 & 0} [/mm] $
wie ist das mit dem bild?
Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
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> hallo,
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> hm ok
>
> von der matrix haben wir ja nun den kern vorher schon
> bestimmt.
>
> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 2 \\ 0 & \red{1} & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \red{1} & 0}[/mm]
>
> wie ist das mit dem bild?
> Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich
> den linear unabhängigen Spalten.
>
Hallo,
nein, das Bild ist nicht gleich diesen Spalten. Sondern: die linear unabhängigen Spalten sind eine Basis des Bildes.
Die führenden Zeilenelemente der ZSF stehen in der 1.,2.,3. Spalte, also bilden die 1.,2.,3. Spalte der Ursprungsmatrix (!) eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 31.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
vielen dank für die anschauliche erklärung!
habs nun verstanden,
danke!
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