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| Aufgabe | man gebe eine basis des untervektorraums aller vektoren [mm] \overrightarrow{x} [/mm]
[mm] \in \IR^{4} [/mm] an, die der folgenden gleichung genügen
[mm] \pmat{ 5 & -10 & 7 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -5 } \overrightarrow{x} [/mm] = 0
wieso ist jeder lineare unterraum des [mm] \IR^{4} [/mm] die lösungsmenge eines linearen gleichungssystems? |
also ich habe nur einen teil der lösung ermitteln können:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = ...+ [mm] t\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1/13}
[/mm]
und
[mm] x_{1} [/mm] - 2 [mm] x_{2} [/mm] = 18 [mm] x_{4} [/mm] = -18/13 [mm] x_{3}
[/mm]
diese art von lösung erscheint mir aber irgendwie unvollständig. es wäre sehr nett ,wenn mir jemand helfen könnte .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mo 28.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
du suchst jeden Vektor [mm] x\in\IR^4 [/mm] für den gilt:
[mm] \pmat{ 5 & -10 & 7 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -5 }*x=0
[/mm]
Wir können Gauß anwenden:
[mm] \pmat{ 5 & -10 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -26 }*x=0\gdw{x=\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 0\\0}\text{oder } x=\lambda*\vektor{18 \\ 0 \\ -13\\1}}
[/mm]
MfG barsch
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entschuldige,aber ich verstehe nicht, wie du dass gemacht hast.(warum sind das alle) .wie hast du denn den gauß angewendet bei dieser 2x4matrix?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mo 28.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> wie hast du denn den gauß
> angewendet bei dieser 2x4matrix?
du kannst Gauß anwenden, wie bei allen anderen Matrizen auch.
Du hast doch: [mm] \pmat{ 5 & -10 & 7 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -5 }\cdot{}x=0
[/mm]
Das ist doch das LGS:
[mm] \text{I. } 5x_1-10x_2+7x_3+1x_4=0
[/mm]
[mm] \text{II. }1x_1-2x_2+1x_3-5x_4=0
[/mm]
Und dann kannst du doch Gauß anwenden; die "neue II." ergibt sich aus: [mm] 5\cdot\text{II.}-\text{I.}.
[/mm]
> entschuldige,aber ich verstehe nicht, wie du dass gemacht
> hast.(warum sind das alle) .
Naja, nachdem wir Gauß angewandt haben, erhalten wir:
[mm] \pmat{ 5 & -10 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -26 }
[/mm]
Wir haben Rang=2. Die Dimension des Bildes ist demnach dim(Bild)=2.
Nach Dimensionssatz dim(V)=dim(Bild f)+dim(Kern f) erhalten wir:
[mm] {4=2+dim(Kernf)}\gdw{dim(Kern f)=2}
[/mm]
Wir finden demnach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit [mm] \pmat{ 5 & -10 & 7 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -5 }\cdot{}x_i=0.
[/mm]
MfG barsch
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entschuldigen Sie,aber wie sind sie denn so einfach auf den zweiten vektor [mm] \lambda\cdot{}\vektor{18 \\ 0 \\ -13\\1} [/mm] gekommen?
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Hallo pumpernickel,
das ist der zweite Vektor aus der allgemeinen Lösung des obigen LGS:
Die Matrix in ZSF ist ja (wenn du bei der obigen Version die 2.Zeile noch durch -2 teilst):
[mm] $\pmat{5&-10&7&1\\0&0&1&13}$
[/mm]
Das entspricht wieder als Gleichungen geschrieben:
(1) [mm] $5x_1-10x_2+7x_3+x_4=0$
[/mm]
(2) [mm] $0\cdot{}x_1+0\cdot{}x_2+x_3+13x_4=0$
[/mm]
Die Nullspalte war in der Rechnung nicht aufgeführt, die ändert sich ja bei den Zeilenumformungen eh nicht
Du hast hier in diesem GS also 2 frei wählbare Variablen:
Setze [mm] $\blue{x_4=t}$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Dann ist mit (2): [mm] $x_3+13t=0\Rightarrow \blue{x_3=-13t}$
[/mm]
Als zweite freie Variable wähle [mm] $\blue{x_2=s}$ [/mm] mit [mm] $s\in\IR$
[/mm]
Dann ist mit (1): [mm] $5x_1-10s+7(-13t)+t=0\Rightarrow 5x_1=10s+90t\Rightarrow \blue{x_1=2s+18t}$
[/mm]
Die allg. Lösung des LGS ist also
[mm] $\left\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\in\IR^4\mid \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2s+18t\\s\\-13t\\t}=s\cdot{}\vektor{2\\1\\0\\0}+t\cdot{}\vektor{18\\0\\-13\\1} \ , s,t\in\IR\right\}$
[/mm]
Diese Lösungsmenge (Kern) ist ein 2-dimensionaler Vektorraum, aufgespannt von den beiden (linear unabh.) Vektoren [mm] $\vektor{2\\1\\0\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{18\\0\\-13\\1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:01 Di 29.01.2008 | | Autor: | pumpernickel |
dankeschön
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