basis bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wenn ich eine Basis zu einer gegebenen Vektormenge bestimmen soll (also für den durch die Vektoren aufgespannten Raum), mache ich ja erstmal Gauß Alg. um zu sehen, ob die Vektoren lin. unabhängig sind.
1. Frage) schreibe ich die Vektoren in die Spalten oder in die Zeilen der Gauß Matrix?
2. Frage) kann ich als basisvektoren die Spalten/Zeilen Vektoren nehmen, die ich durch den Gauß Alg. erhalte, oder muss ich die lin. unabhängigen Ausgangsvektoren nehmen?
Gruß
Garfield II
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> wenn ich eine Basis zu einer gegebenen Vektormenge
> bestimmen soll (also für den durch die Vektoren
> aufgespannten Raum), mache ich ja erstmal Gauß Alg. um zu
> sehen, ob die Vektoren lin. unabhängig sind.
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> 1. Frage) schreibe ich die Vektoren in die Spalten oder in
> die Zeilen der Gauß Matrix?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beides ist möglich - man muß halt die Ergebnisse richtig interpretieren.
> 2. Frage) kann ich als basisvektoren die Spalten/Zeilen
> Vektoren nehmen, die ich durch den Gauß Alg. erhalte, oder
> muss ich die lin. unabhängigen Ausgangsvektoren nehmen?
Je nachdem, wie Du's machst...
Legst Du die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bringst sie auf ZSF, so sind die transponierten Nichtnullzeilen eine Basis des aufgespannten Raumes.
Stellst Du die Vektoren als Spalten in eine Matrix, so sind diejenigen Vektoren der Ausgangs(!!!)matrix, die in den Spalten stehen, in denen in der Zeilenstufenform die führenden Zeilenelemente stehen, eine Basis des aufgespannten Raumes.
(Bei Unverständnis und Rückfragen bitte eine Menge v. Vektoren, die entsprechende Matrix und ihre Zeilenstufenform posten, damit man es daran erklären kann.)
Gruß v. Angela
>
> Gruß
> Garfield II
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Liebe Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube es dir gerne und deine Antwort reicht mir eigentlich auch. Aber aus Neugierde:
Wenn ich nun die Vektoren in die Zeilen schreibe, könnte den Gauß Alg. doch theoretisch so weit treiben, bis ich nur noch Einsen (oder ggf. Nullen) auf der Hauptdiagonalen und sonst nur Nullen habe. Aber nicht jeder (unter-) Vektorraum hat ja die Standardbasis.
Wann muss ich denn nun mit dem Gauß Alg. aufhören und warum bekomme ich, wenn ich an einer Stelle aufhöre die richtige Basis und an einer anderen Stelle nicht mehr?
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> Liebe Angela,
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> vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube es dir gerne und
> deine Antwort reicht mir eigentlich auch. Aber aus
> Neugierde:
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> Wenn ich nun die Vektoren in die Zeilen schreibe, könnte
> den Gauß Alg. doch theoretisch so weit treiben, bis ich
> nur noch Einsen (oder ggf. Nullen) auf der Hauptdiagonalen
> und sonst nur Nullen habe. Aber nicht jeder (unter-)
> Vektorraum hat ja die Standardbasis.
Hallo,
Du kannst den Gaußalgorithmus so weit treiben, daß Du auf der hauptdiagonalen nur Einsen und über und unter diesen Einsen nur Nullen hast.
Aber Du kannst ihn i.a. nicht so weit treiben, daß keine anderen Zahlen als Einsen und Nullen mehr vorkommen.
Beispiel: [mm] \vektor {1\\2\\3}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{2\\5\\6}.
[/mm]
> Wann muss ich denn nun mit dem Gauß Alg. aufhören und
> warum bekomme ich, wenn ich an einer Stelle aufhöre die
> richtige Basis und an einer anderen Stelle nicht mehr?
Keine Sorge - Du bekommst die richtige Basis, auch wenn Du bis zum bitteren Ende rechnest.
Gruß v. Angela
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Aha! Wenn ich eine Null in der Hauptdiagonale habe, bekomme ich die anderen Einträge der Spalte nicht mehr klein.
Danke nochmal für die Aufklärung. Jetzt kann ich mich dem guten alten Gauß mit besserem Gewissen hingeben.
Gruß
Garfield II
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