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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Di 15.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Für jede Wahl von b [mm] \in \IN [/mm] mit b [mm] \ge [/mm] 2 , [mm] \omega \in [/mm] {-1,0,1}, [mm] j_0 \in \IZ [/mm] und [mm] z_j \in \{0,...,b-1\} [/mm] für j [mm] \ge j_0, [/mm] wird [mm] a_n=\omega \sum_{j=j_0}^n \frac{z_j}{b^j}, [/mm] n [mm] \ge j_0 [/mm] , durch eine rationale Cauchyfolge definiert.
Beweise |
Den Beweis haben wir gemacht. Aber ich scheitere beim verstehen
Schon die ersten Schritte..
m > n : [mm] |a_m-a_n| =\sum_{j=n+1}^m \frac{z_j}{b^j}
[/mm]
wie kommt man auf den letzten SChritt? Die Grenzen der Summe sind ja anders..Wie komtm man darauf?
[mm] \sum_{j=n+1}^m \frac{z_j}{b^j} \le \sum_{j=n+1}^m \frac{b-1}{b^j} [/mm] = (b-1) * [mm] \sum_{j=n+1}^m \frac{1}{b^j}
[/mm]
!Klar!
[mm] =\frac{b-1}{b^{n+1}} [/mm] * [mm] \sum_{j=n+1}^m \frac{z_j}{b^{j-n+1}}
[/mm]
Ich nehme ersten Sumand "raus" Ja aber wie komme ich auf die Hochzahl bei b?( [mm] b^{j-n+1}) [/mm] ??
j=n-1=k
[mm] =\frac{b-1}{b^{n+1}} [/mm] * [mm] \sum_{j=n+1}^{m-n-1} \frac{z_j}{b^{k}}
[/mm]
Wie kommt man hier genau auf die obere Grenze der Summe?
[mm] \frac{b-1}{b^{n+1}} [/mm] * [mm] \frac {1-(\frac{1}{b})^{m-n}}{1-\frac{1}{b}}
[/mm]
Ist mir gar nicht klar, wie man von der Summe auf den ausdruck kommt!
[mm] \le \frac{b-1}{b^{n+1}} *\frac{b}{b-1}= \frac{1}{b^n}
[/mm]
Klar
Wäre supi lieb wenn ihr den beweis mit mir durchgeht und offenes klärt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mi 16.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Für jede Wahl von b [mm]\in \IN[/mm] mit b [mm]\ge[/mm] 2 , [mm]\omega \in[/mm]
> {-1,0,1}, [mm]j_0 \in \IZ[/mm] und [mm]z_j \in \{0,...,b-1\}[/mm] für j [mm]\ge j_0,[/mm]
> wird [mm]a_n=\omega \sum_{j=j_0}^n \frac{z_j}{b^j},[/mm] n [mm]\ge j_0[/mm] ,
> durch eine rationale Cauchyfolge definiert.
> Beweise
>
>
> Den Beweis haben wir gemacht. Aber ich scheitere beim
> verstehen
> Schon die ersten Schritte..
>
> m > n : [mm]|a_m-a_n| =\sum_{j=n+1}^m \frac{z_j}{b^j}[/mm]
>
> wie kommt man auf den letzten SChritt? Die Grenzen der
> Summe sind ja anders..Wie komtm man darauf?
Etwas ausfuehrlicher rechnet man so:
[mm] $|a_{m}-a_{n}|= |\omega \sum_{j=j_0}^m \frac{z_j}{b^j}- \omega \sum_{j=j_0}^n \frac{z_j}{b^j}|= |\omega (\sum_{j=j_0}^m \frac{z_j}{b^j}- \sum_{j=j_0}^n \frac{z_j}{b^j})|= |\omega||\sum_{j=j_0}^m \frac{z_j}{b^j}- \sum_{j=j_0}^n \frac{z_j}{b^j}|$. [/mm] Nun beachte einerseits, das [mm] $|\omega|= [/mm] 1$ ist. Andererseits zur Summe: Da $m>n$ ist, tauchen alle Summanden der zweiten Summe von [mm] $j_{0}$ [/mm] bis $n$ auch in der ersten Summe auf, weshalb sie sich gegenseitig aufheben. Was bleibt, sind die Summanden mit den Indices $>n$.
>
> [mm]\sum_{j=n+1}^m \frac{z_j}{b^j} \le \sum_{j=n+1}^m \frac{b-1}{b^j}[/mm]
> = (b-1) * [mm]\sum_{j=n+1}^m \frac{1}{b^j}[/mm]
> !Klar!
>
> [mm]=\frac{b-1}{b^{n+1}}[/mm] * [mm]\sum_{j=n+1}^m \frac{z_j}{b^{j-n+1}}[/mm]
Hier muss wohl weiterhin [mm] $\sum_{j=n+1}^m \frac{1}{b^{j-n-1}}$ [/mm] stehen!
>
> Ich nehme ersten Sumand "raus" Ja aber wie komme ich auf
> die Hochzahl bei b?( [mm]b^{j-n+1})[/mm] ??
>
Man klammert [mm] $\frac{1}{b^{n+1}}$ [/mm] aus: $(b-1) * [mm] \sum_{j=n+1}^m \frac{1}{b^j} [/mm] = (b-1) * [mm] \sum_{j=n+1}^m \frac{1}{b^{n+1}} \frac{b^{n+1}}{b^j}= \frac{b-1}{b^{n+1}} [/mm] * [mm] \sum_{j=n+1}^m b^{n+1-j}= \frac{b-1}{b^{n+1}} [/mm] * [mm] \sum_{j=n+1}^m \frac{1}{b^{-n-1+j}}$
[/mm]
> j=n-1=k
>
> [mm]=\frac{b-1}{b^{n+1}}[/mm] * [mm]\sum_{j=n+1}^{m-n-1} \frac{z_j}{b^{k}}[/mm]
>
> Wie kommt man hier genau auf die obere Grenze der Summe?
Man fuehrt einen neuen Summationsindex ein; der Deutlichkeit halber waehle ich $k$: Setze $k= j-n-1$, d.h. die Summe soll jetzt ueber $k$, und nicht $j$, laufen. Die untere Grenze erhaelt man durch einsetzen der unteren Grenze fuer $j(=n+1)$: $n+1-n-1= 0$ und die obere Grenze durch einsetzen der oberen Grenze von $j(=m)$: $m-n-1$.
>
> [mm]\frac{b-1}{b^{n+1}}[/mm] * [mm]\frac {1-(\frac{1}{b})^{m-n}}{1-\frac{1}{b}}[/mm]
>
> Ist mir gar nicht klar, wie man von der Summe auf den
> ausdruck kommt!
Wie haben soweit [mm] $|a_{m}-a_{n}|\leq \frac{b-1}{b^{n+1}} [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^{m-n-1} \frac{1}{b^{k}}$. [/mm] Die Summe ist eine geometrische Reihe...
>
> [mm]\le \frac{b-1}{b^{n+1}} *\frac{b}{b-1}= \frac{1}{b^n}[/mm]
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> Klar
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> Wäre supi lieb wenn ihr den beweis mit mir durchgeht und
> offenes klärt!
Supi?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 21.11.2011 | | Autor: | sissile |
servus, dankeschön! Sehr gut erklärt.
Wobei ich eine sache nicht ganz verstehe
$ [mm] \frac {1-(\frac{1}{b})^{m-n}}{1-\frac{1}{b}} [/mm] $
wie kommt man hier auf das hoch m-n ??
bei der geometrischen reihe ist es hoch n+1, transformiert man das auch um?
Überhaupt kenne ich mich nicht ganz aus bei umtranformieren der Grenzen wenn man einen neuen Summenindex einführt!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 21.11.2011 | | Autor: | hippias |
Der obere Summationsindex ist $m-n-1$; durch das $+1$ aus der Formel fuer die geometrische Reihe erhaelt man $m-n-1+1= m-n$.
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> Überhaupt kenne ich mich nicht ganz aus bei
> umtranformieren der Grenzen wenn man einen neuen
> Summenindex einführt!?
Ja, man muss sich manchaml konzentrieren dabei, besonders, wenn der neue Index den selben Namen bekommt.
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