aus konvergenz folgt abzählbar < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Do 23.07.2015 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Es sei I eine beliebige Menge und
a: I [mm] \to [/mm] (0, [mm] \infty)
[/mm]
k [mm] \mapsto a_{k} [/mm] eine Abbildung.
a) Wir definieren die Konvergenz der allgemeinen Reihe [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] wie folgt: Die Reihe [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] heißt konvergent, wenn es ein C [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für jede endliche Teilmenge J [mm] \subset [/mm] I gilt:
[mm] \summe_{j \in J}a_{j} \le [/mm] C
Zeigen Sie: Wenn die Reihe [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] konvergiert, dann ist I abzählbar.
Tipp: Überdecken Sie (0, [mm] \infty [/mm] )mit abzählbar vielen Intervallen(die von der Null weg beschränkt sind), so dass jedes dieser Intervalle nur endlich viele der [mm] a_{k} [/mm] enthält. |
Hallo,
dies ist eine Gruppenübung zu der ich leider nicht mehr gekommen bin und jetzt nacharbeiten möchte als Prüfungsvorbereitung.
Mir fehlt hier ein sinnvoller Ansatz. Klar, wenn die Reihe konvergiert, dann kann ich die obige Definition der Konvergenz darauf anwenden. Aber schlussendlich soll ich doch zeigen, dass eine surjektive Abbildung von [mm] \IN \to [/mm] I existiert. Ich habe mir jetzt noch gedacht, dass ich wahrscheinlich eine Funktion definieren muss, die für jedes J zu einem dieser Intervalle aus dem Tipp geht und dann vermutlich begründen muss, dass diese surjektiv ist? Irgendwie bereitet mir das Bauchschmerzen. Die darauffolgende Idee wäre dann zu sagen, dass die Vereinigung einer Folge abzählbarer Intervalle(die J) wieder abzählbar ist und damit hätte ich die Abzählbarkeit von I.
Ich fürchte da ist irgendwo noch ein Haken, jedenfalls ist mir der Ablauf nicht ganz geheuer und an der Umsetzung hapert es auch.
Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
Küken
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Do 23.07.2015 | | Autor: | hippias |
Eine surjektive Funktion [mm] $:I\to\IN$ [/mm] zu konstruieren wird wohl nicht notwendig sein. Vielmehr wird Deine zweite Idee, namelich dass man die Menge [mm] $\{a_{k}\}$ [/mm] als abzaehlbare Vereinigung endlicher Mengen schreibt, ausreichend sein.
Also: sei $A:= [mm] \{x\in (0,\infty)|\exists k\in I\: x= a_{k}\}$. [/mm] Tip: Mache Dir klar, dass z.B. [mm] $A\cap [1,\infty)$ [/mm] endlich ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Do 23.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei I eine beliebige Menge und
> a: I [mm]\to[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm]
> k [mm]\mapsto a_{k}[/mm] eine Abbildung.
> a) Wir definieren die Konvergenz der allgemeinen Reihe
> [mm]\summe_{k \in I}a_{k}[/mm] wie folgt: Die Reihe [mm]\summe_{k \in I}a_{k}[/mm]
> heißt konvergent, wenn es ein C [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass für
> jede endliche Teilmenge J [mm]\subset[/mm] I gilt:
> [mm]\summe_{j \in J}a_{j} \le[/mm] C
>
> Zeigen Sie: Wenn die Reihe [mm]\summe_{k \in I}a_{k}[/mm]
> konvergiert, dann ist I abzählbar.
>
> Tipp: Überdecken Sie (0, [mm]\infty[/mm] )mit abzählbar vielen
> Intervallen(die von der Null weg beschränkt sind), so dass
> jedes dieser Intervalle nur endlich viele der [mm]a_{k}[/mm]
> enthält.
> Hallo,
>
> dies ist eine Gruppenübung zu der ich leider nicht mehr
> gekommen bin und jetzt nacharbeiten möchte als
> Prüfungsvorbereitung.
>
> Mir fehlt hier ein sinnvoller Ansatz. Klar, wenn die Reihe
> konvergiert, dann kann ich die obige Definition der
> Konvergenz darauf anwenden. Aber schlussendlich soll ich
> doch zeigen, dass eine surjektive Abbildung von [mm]\IN \to[/mm] I
> existiert. Ich habe mir jetzt noch gedacht, dass ich
> wahrscheinlich eine Funktion definieren muss, die für
> jedes J zu einem dieser Intervalle aus dem Tipp geht und
> dann vermutlich begründen muss, dass diese surjektiv ist?
> Irgendwie bereitet mir das Bauchschmerzen. Die
> darauffolgende Idee wäre dann zu sagen, dass die
> Vereinigung einer Folge abzählbarer Intervalle(die J)
> wieder abzählbar ist und damit hätte ich die
> Abzählbarkeit von I.
> Ich fürchte da ist irgendwo noch ein Haken, jedenfalls ist
> mir der Ablauf nicht ganz geheuer und an der Umsetzung
> hapert es auch.
>
> Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
> Küken
Tipps sind dazu da, dass man sie begerzigt !
Sei also $ [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] $ konvergent und $C$ wie in obiger Definition.
Setze [mm] $I_n:=( \bruch{1}{n}, \infty)$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann ist klar:
$(0, [mm] \infty)=\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n$.
[/mm]
Es ist
[mm] $a^{-1}(I_n)=\{x \in I:a_x \in I_n\}=\{x \in I:a_x > 1/n\}$.
[/mm]
Zeige nun:
1. die Anzahl der Elemente in [mm] a^{-1}(I_n) [/mm] ist [mm] $\le [/mm] nC$
und
2. [mm] $I=\bigcup_{n=1}^{\infty}a^{-1}(I_n) [/mm] $.
Das bedeutet:
$I$ ist abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen
(wobei ich [mm] \emptyset [/mm] ebenfalls als endliche Menge ansehe).
FRED
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