aufgabe zu mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Do 16.05.2013 | | Autor: | mmmmmo |
| Aufgabe | also komm leider bei folgender aufgabe gar nicht weiter:
Die Funktion f: R->R sei differenzierbar und genüge für alle x,y∈R der Gleichung f(x-y)=f(x)-f(y)
a) entscheiden sie ob die folgenden aussagen wahr oder falsch sind:
(i) : f(0)=0
(ii) : f(-x)=-f(x)
(iii) : f(x+y)=f(x)+f(y)
(iv) : f(xy)=f(x)f(y)
b) Zeigen sie mit hilfe des Differenzenquotientens, dass f ' (x) konstant ist
c) Verwenden sie den Mittelwertsatz um zu zeigen, dass eine konstante a∈R existiert mit f(x)=ax für alle x∈R |
also ich habe hier nicht wirklich einen ansatz auser dass ich aus dem gefühl raus sagen würde, dass f(0)=0 wahr ist. bei den anderen bin ich mir unsicher und weis nicht wie ich die sache am besten angehe. bitte dringenst um hilfe!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.gute-mathe-fragen.de/26864/differentialquotient-und-mitterwertsatz-f-x-y-f-x-f-y
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> Die Funktion f: R->R sei differenzierbar und genüge für
> alle x,y∈R der Gleichung f(x-y)=f(x)-f(y)
>
> a) entscheiden sie ob die folgenden aussagen wahr oder
> falsch sind:
>
> (i) : f(0)=0
>
> (ii) : f(-x)=-f(x)
>
> (iii) : f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> (iv) : f(xy)=f(x)f(y)
>
> b) Zeigen sie mit hilfe des Differenzenquotientens, dass f
> ' (x) konstant ist
>
> c) Verwenden sie den Mittelwertsatz um zu zeigen, dass eine
> konstante a∈R existiert mit f(x)=ax für alle x∈R
> also ich habe hier nicht wirklich einen ansatz auser dass
> ich aus dem gefühl raus sagen würde, dass f(0)=0 wahr
> ist.
Hallo,
das Gefühl reicht natürlich nicht.
Bedenke:
Es ist
f(0)=f(0-0)= ...
Mit dieser Idee solltest Du auch die ii) bewältigen können, fast würde ich erwarten, daß Dir auch eine Idee für iii) kommt.
Überlege Dir, wie Du x+y als Subtraktion schreiben kannst.
Wenn Du das hast, kann man weitersehen - und ich müßte wohl auch erstmal überlegen.
LG Angela
> bei den anderen bin ich mir unsicher und weis nicht
> wie ich die sache am besten angehe. bitte dringenst um
> hilfe!!!
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.gute-mathe-fragen.de/26864/differentialquotient-und-mitterwertsatz-f-x-y-f-x-f-y
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 16.05.2013 | | Autor: | mmmmmo |
also erst mal danke vielmals für die sehr schnelle antwort. habe jetzt den a teil beendet hast mir wirklich sehr geholfen auf die lösung zu kommen.
die (iv) habe ich durch das gegenbeispiel f(x)=2x und x=2,y=3 bewiesen dass sie nicht zutrifft
hättest du vllt auch noch einen ansatz für die b, denn ich hatte schon immer schwierigkeiten mit dem differenzenquotienten. also habe den differenzenquotient folgendermaßen umgeschrieben:
(f(x+h)-f(x))/h=f(x+h-x)/h=f(h)/h
habe das gefühl, dass das der lösung schon ziemlich nahe ist mir fehlt nur noch das letzte puzzelteil ;D
wäre sehr froh wenn ich wieder eine so schnelle antwort bekäme
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Hiho,
> also erst mal danke vielmals für die sehr schnelle antwort. habe jetzt den a teil beendet hast mir wirklich sehr geholfen auf die lösung zu kommen. die (iv) habe ich durch das gegenbeispiel f(x)=2x und x=2,y=3 bewiesen dass sie nicht zutrifft
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ii) ist einfach die Eigenschaft mit x=0
iii) beweist du mit der Eigenschaft und ii)
> also habe den differenzenquotient folgendermaßen umgeschrieben:
> (f(x+h)-f(x))/h=f(x+h-x)/h=f(h)/h
Vorweg: Nutze doch bitte den Editor, so kann das kein Mensch lesen!
Dann: Du bist doch fertig, musst es nur noch zusammen schreiben.
Die Funktion ist nach Voraussetzung differenzierbar, d.h. es gilt mit i)
$f'(0) = [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h}$
[/mm]
Nun hast du ja für beliebiges x bereits gezeigt:
$f'(x) = [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h} [/mm] = f'(0)$
D.h. für die Ableitung was?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 16.05.2013 | | Autor: | mmmmmo |
wieder eine sehr schnelle und hilfreiche antwort. DANKE!
> Hiho,
>
> > also erst mal danke vielmals für die sehr schnelle
> antwort. habe jetzt den a teil beendet hast mir wirklich
> sehr geholfen auf die lösung zu kommen. die (iv) habe ich
> durch das gegenbeispiel f(x)=2x und x=2,y=3 bewiesen dass
> sie nicht zutrifft
>
>
>
> ii) ist einfach die Eigenschaft mit x=0
> iii) beweist du mit der Eigenschaft und ii)
>
> > also habe den differenzenquotient folgendermaßen
> umgeschrieben:
> > (f(x+h)-f(x))/h=f(x+h-x)/h=f(h)/h
>
> Vorweg: Nutze doch bitte den Editor, so kann das kein
> Mensch lesen!
> Dann: Du bist doch fertig, musst es nur noch zusammen
> schreiben.
>
> Die Funktion ist nach Voraussetzung differenzierbar, d.h.
> es gilt mit i)
>
> [mm]f'(0) = \lim_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h}[/mm]
>
> Nun hast du ja für beliebiges x bereits gezeigt:
>
> [mm]f'(x) = \lim_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h} = f'(0)[/mm]
>
> D.h. für die Ableitung was?
>
> MFG,
> Gono.
das heist für die ableitung dass f'(x)=f'(0)=f'(1)... das heist wiederrum dass f'(x) konstant sein muss.
für die c könnte ich so argumentieren, dass f'(x)=a ist und daher f(x)=ax+b. b muss nach (i) 0 sein.
bin mir aber nicht sicher ob das dann auf die aufgabenstellung passt, denn ich soll es mit hilfe des mittelwertsatzes beweisen.
kann mir vllt ein letztes mal jemand helfen ^.^
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Hiho,
> das heist für die ableitung dass f'(x)=f'(0)=f'(1)... das heist wiederrum dass f'(x) konstant sein muss.
Deine Antwort wirkt allerdings so, als würdest du dich auf die natürlichen Zahlen beschränken.
Allein die Gleichung $f'(x) = f'(0) =: a$ sagt doch schon, dass f' konstant a sein muss.
> für die c könnte ich so argumentieren, dass f'(x)=a ist und daher f(x)=ax+b.
Wie kommst du darauf? Dass ihr Stammfunktionen bilden dürft, wage ich bei der Aufgabe zu bezweifeln (sonst wäre deine Argumentation korrekt).
Was sagt der Mittelwertsatz denn aus?
Tipp: Verwende ihn für eine beliebige Stelle x und 0.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 16.05.2013 | | Autor: | mmmmmo |
> Hiho,
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> > das heist für die ableitung dass f'(x)=f'(0)=f'(1)... das
> heist wiederrum dass f'(x) konstant sein muss.
>
>
> Deine Antwort wirkt allerdings so, als würdest du dich
> auf die natürlichen Zahlen beschränken.
> Allein die Gleichung [mm]f'(x) = f'(0) =: a[/mm] sagt doch schon,
> dass f' konstant a sein muss.
>
> > für die c könnte ich so argumentieren, dass f'(x)=a ist
> und daher f(x)=ax+b.
>
> Wie kommst du darauf? Dass ihr Stammfunktionen bilden
> dürft, wage ich bei der Aufgabe zu bezweifeln (sonst wäre
> deine Argumentation korrekt).
>
> Was sagt der Mittelwertsatz denn aus?
> Tipp: Verwende ihn für eine beliebige Stelle x und 0.
>
> MFG,
> Gono.
also der mittelwertsatz sagt glaube ich aus(bei stetig und differenzierbaren funktionen wie hier), dass es zwischen zwei punkten(sie meinten ich solle 0 und x nehmen) immer eine tangente mit der selben steigung gibt, wie die steigung der sekante durch die beiden punkte.
also muss es ein f'(a) so geben, dass [mm] \bruch{ f(x)-f(0) }{ x-0 } [/mm] =f'(a). f'(a) ist konstant. f(0)=0.
[mm] ->\bruch{ f(x) }{ x } [/mm] =c
->f(x)=cx für x ungleich 0
reicht die argumentation so? bin mir da ziemlich unsicher
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Hiho,
> also der mittelwertsatz sagt glaube ich aus(bei stetig und
> differenzierbaren funktionen wie hier), dass es zwischen
> zwei punkten(sie meinten ich solle 0 und x nehmen) immer
> eine tangente mit der selben steigung gibt, wie die
> steigung der sekante durch die beiden punkte.
Du musst uns hier aber nicht siezen ^^
> also muss es ein f'(a) so geben, dass [mm]\bruch{ f(x)-f(0) }{ x-0 }[/mm] =f'(a). f'(a) ist konstant. f(0)=0.
[mm]->\bruch{ f(x) }{ x }[/mm] =c
->f(x)=cx für x ungleich 0
> reicht die argumentation so? bin mir da ziemlich unsicher
Jop, passt alles.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Do 16.05.2013 | | Autor: | mmmmmo |
okvielen dank. bin neu hier im forum und sehr positiv überrascht.
hätte nicht gedacht dasss meine fragen so schnell und gut beantwortet würden :D
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