aufgabe 2 lösungswege...!? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Di 01.02.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | Berechnen sie
[mm] \((2-3i)(-1+5i) [/mm] |
hallo, bezüglich der multiplikation habe ich folgende Formel im skript gefunden:
[mm] \((a*u-b*v)+(a+v+b*u)
[/mm]
auf diese aufgabe bezogen würde es wie folgt aussehen:
[mm] \((2-3i)(-1+5i)
[/mm]
[mm] \((2*(-1)-(-3)*5)+(2*5+(-3)*(-1))i
[/mm]
--> [mm] \(13+18i
[/mm]
Im tutorium scheinen wir es allerdings anders gelöst zu haben:
[mm] \((2-3i)(-1+5i)
[/mm]
[mm] \((-2)+10i+3i-15i^2
[/mm]
[mm] \(-2+13i+15
[/mm]
[mm] \(13+13i
[/mm]
also wurden hier nur die klammern addiert und anschließend [mm] \(i^2=(-1) [/mm] gesetzt
tippe im tutorium wurde es richtig germacht... habe ich die formel einfach falsch angewandt oder was ist hier los?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen sie
>
> [mm]\((2-3i)(-1+5i)[/mm]
> hallo, bezüglich der multiplikation habe ich folgende
> Formel im skript gefunden:
>
> [mm]\((a*u-b*v)+(a+v+b*u)[/mm]
das ist keine Formel, sondern maximal ein Ausschnitt einer Formel. Du brauchst hier (eigentlich) auch keine Formel, denn Du darfst in [mm] $\IC$ [/mm] genauso rechnen, wie in [mm] $\IR\,,$ [/mm] die einzige Besonderheit ist halt [mm] $i^2=-1\,,$ [/mm] und dass man komplexe Zahlen nach ihrem Real- und Imaginärteil sortiert.
Aber um die Formel zu korrigieren:
Für $a,b,u,v [mm] \in \IR$ [/mm] ist
[mm] $$(a+bi)*(u+vi)=(au-bv)+\blue{(av+bu)}\green{*i}\,,$$
[/mm]
denn:
[mm] $$(a+bi)*(u+vi)=au+avi+biu+bivi=au+(av+bu)*i+bv*\underbrace{i^2}_{=-1}=(au-bv)+(av+bu)*i\,.$$
[/mm]
Rechnet man aber (sinnigerweise) einfach direkt ohne diese Formel, so erhält man (meinetwegen auch durch Umschreiben von [mm] $(2-3i)*(-1+5i)=(2+(-3)i)*((-1)+5i)\,$)
[/mm]
[mm] $$(2-3i)*(-1+5i)=2*(-1)+2*5i-3i*(-1)-3i*5*i=-2+10i+3i+15=13+13*i\,,$$
[/mm]
was natürlich das gleiche ist wie
[mm] $$(2*(-1)-(-3)*5)+(2*5+(-3)*(-1))*i\;\;(=13+13*i)\,,$$
[/mm]
wobei man letzteres durch direktes Einsetzen in die Formel erhält.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Mi 02.02.2011 | | Autor: | m4rio |
habe mich bei der formel natürlich gehörig vertippt. richtig ist natürlich deine variante...
außerdem habe ich noch verrechnet... kam doch das selbe raus.
aber schön zu wissen, dass iich auch einfach so drauf losmultiplizeiren kann und zum schluss [mm] \(i^2=-1 [/mm] setzen kann.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Mi 02.02.2011 | | Autor: | moody |
> aber schön zu wissen, dass iich auch einfach so drauf
> losmultiplizeiren kann
Das ist hier nicht die Grundregel, aber in dem einfachem Fall das zwei Klammer mit je 2 Summanden multipliziert werden folgt man einfach dem der Regel jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert und gut ist.
Später empfiehlt es sich natürlich ( vor allem bei komplizierteren Ausdrücken ) die Augen nach möglichen Vereinfachungen ( Rechenregeln im Komplexen ) auf zu halten um sinnloses rechnen zu vermeiden.
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 03.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo moody,
> > aber schön zu wissen, dass iich auch einfach so drauf
> > losmultiplizeiren kann
> Das ist hier nicht die Grundregel,
sowas wollte ich auch nicht suggerieren. Ich wollte darauf hinweisen, dass man in [mm] $\IC$ [/mm] eben "im Wesentlichen wie in [mm] $\IR$" [/mm] rechnen kann, weil [mm] $\IC\,,$ [/mm] genauer [mm] $(\IC,+,*)$, [/mm] ein Körper ist. Also gelten insbesondere Assoziativ-, Kommutativ und Distributivgesetz, und schon in der Schule lernt man diese ständig anzuwenden. Nur wird das dann da meist eher so begründet, dass die Lehrer sagen: "Naja, erfahrungsgemäß dürfen wir mit Zahlen so rechnen...". Mit viel Glück benennt ein Lehrer diese Gesetze des öfteren und ruft in Erinnerung, dass wir, wenn wir "mit Zahlen rechnen", eigentlich ständig sowas benutzen. Und mit noch viel mehr Glück macht ein Lehrer das des öfteren, dass er darauf hinweist, warum man wann wie umformen "darf"...
> aber in dem einfachem
> Fall das zwei Klammer mit je 2 Summanden multipliziert
> werden folgt man einfach dem der Regel jeder Summand der
> ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer
> multipliziert und gut ist.
Warum man das gerade bei zwei Klammern so machen soll, ist mir unklar. Es geht durchaus auch analog bei mehreren Klammern. Es ist eher die Frage:
> Später empfiehlt es sich natürlich ( vor allem bei
> komplizierteren Ausdrücken ) die Augen nach möglichen
> Vereinfachungen ( Rechenregeln im Komplexen ) auf zu halten
> um sinnloses rechnen zu vermeiden.
wann jemand ein geschultes Auge entwickelt und entsprechend genug geübt beim Rechnen ist, um zu sehen, wann er mit welchen Mitteln eben sinnloses Rechnen vermeiden kann. In gewisser Hinsicht ist (zumindest ein Teil der) Mathematik die Kunst, unnötiges rechnen zu vermeiden. Aber bei solchen Übungsaufgaben wie hier sage ich dennoch:
Wer keine Ahnung oder Idee hat, wie er möglichst "einfach" derartige Aufgaben lösen soll, der sollte halt einfach mal "blind drauflosrechnen". Und wenn es nur den Effekt hat, dass man sich beim Angucken der Musterlösung mit der Hand an die Stirn schlägt und sich fragt, warum man selbst "sich 'nen Wolf gerechnet hat", wenn es doch so einfache und elegante andere Methoden gibt, die man nur hätte sehen/suchen müssen.
Ich erinnere mich auch, dass ich anfangs Induktionsbeweise meist "stark aufgebläht" hatte, weil ich manchmal im Induktionsschritt andere Behauptungen gesehen hatte, die ich dann wieder per Induktion bewiesen hatte. So hatte ich mal einen Induktionsbeweis geführt, der aus 4 Teilbeweisen bestand, die selbst per Induktion geführt wurden. Heute würde ich das natürlich anders machen und versuchen, dass ich da quasi "den Kern", der den Induktionsbeweis vervollständigt, möglichst elegant und dennoch elementar herzuleiten. Nur, wenn mir das nicht gelänge, würde ich so eine "Induktionsverschachtelung" wieder hinschreiben...
Was ich damit einfach sagen will: Wenn man keine Idee hat, aber elementare Wege gehen kann, dann ist es besser, erstmal zu versuchen, diese, soweit als möglich, zu gehen und zu hoffen, dass man damit dennoch ans Ziel kommt. Das ist besser, als nichts zu tun, und auch durch "unnötiges Rechnen" lernt man. Denn an einer anderen Stelle sieht man dann vielleicht sogar, dass jmd. anderes dort ebenfalls unnötig gerechnet hat und kann das verkürzen und auf den Punkt bringen, eben, "weil man sowas schonmal gesehen und selbst erlebt hat".
Learning by doing ist die Devise, und spätestens danach sollte man sich natürlich auch selbst nochmal fragen, ob man da an der ein oder anderen Stelle nicht vielleicht doch sogar etwas verkürzen oder eleganter formulieren kann...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 05.02.2011 | | Autor: | moody |
> Warum man das gerade bei zwei Klammern so machen soll, ist
> mir unklar. Es geht durchaus auch analog bei mehreren
> Klammern. Es ist eher die Frage:
Ja natürlich gilt das auch bei mehreren Klammern, aber das war der Wortlaut der mir aus der Schule noch in Erinnerung war und wir hatten hier ja auch nur 2 Klammern.
> Was ich damit einfach sagen will: Wenn man keine Idee hat,
> aber elementare Wege gehen kann, dann ist es besser,
> erstmal zu versuchen, diese, soweit als möglich, zu gehen
> und zu hoffen, dass man damit dennoch ans Ziel kommt. Das
> ist besser, als nichts zu tun, und auch durch "unnötiges
> Rechnen" lernt man. Denn an einer anderen Stelle sieht man
> dann vielleicht sogar, dass jmd. anderes dort ebenfalls
> unnötig gerechnet hat und kann das verkürzen und auf den
> Punkt bringen, eben, "weil man sowas schonmal gesehen und
> selbst erlebt hat".
Natürlich sollte man wenn gar nichts weiss einfach mal versuchen was zu rechnen, ich wollte für die Klausur nur den Tipp geben auf jeden Fall zu versuchen kleine Tricks / Vereinfachungen aus der Vorlesung zu verinnerlichen da das ja mitunter hilfreich sein kann und ich mir sicher bin dass es einem in der Klausur auf jeden Fall an Zeit mangeln wird unnötig komplizierte Wege zu gehen.
lg moody
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