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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 19.04.2009 | | Autor: | TNA-619 |
| Aufgabe | [mm] (\bruch{p}{q})² [/mm] + 5 = [mm] (\bruch{a}{x})²
[/mm]
[mm] (\bruch{p}{q})² [/mm] - 5 = [mm] (\bruch{b}{y})²
[/mm]
Bestimme [mm] \bruch{p}{q} [/mm] |
ggT(p,q)=1
ggT(a,x)=1
ggT(b,y)=1
Hallo :)
hab mal ein bisschen rumgerechnet
[mm] (\bruch{p}{q})² [/mm] + 5 = [mm] (\bruch{a}{x})²
[/mm]
[mm] \bruch{p²+5q²}{q²}=\bruch{a²}{x²}
[/mm]
$p²+5q²=a²$
bzw.
$p²-5q²=b²$
$a²-p²=5q²$
$(a+p)(a-p)=5q²$
$(p+b)(p-b)=5q²$
$(a+p)(a-p)=(p+b)(p-b)$
kommt man da weiter(faktoren) ?
grüße und danke :)
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Hallo!
Versteh ich das richtig, du sollst [mm] \bruch{p}{q} [/mm] berechnen? Und a, b, x, und y sind zwar bekannt, aber halt keine konkreten Zahlen?
Also, ich hätte an folgende Lösung gedacht. Aber vielleicht ist das zu einfach, wenn ich mir deinen Lösungsweg anschaue..
[mm] \bruch{p}{q} [/mm] = [mm] \wurzel{ (\bruch{a}{x})^2 - 5}
[/mm]
bzw.
[mm] \bruch{p}{q} [/mm] = [mm] \wurzel{ (\bruch{b}{y})^2 + 5}
[/mm]
Die zweite Lösung ist immer real, weil [mm] (\bruch{b}{y})^2 [/mm] immer größer null ist, auch wenn du noch 5 addierst.
Bei der ersten Lösung, muss man aber noch drauf achten, dass die Wurzel nicht negativ wird (weils sonst ne komplexe Zahl wird und sowas macht man in der Schule noch nicht). Also [mm] (\bruch{a}{x})^2 [/mm] - 5 [mm] \ge [/mm] 0, also muss immer [mm] \bruch{a}{x} \ge \wurzel{5} [/mm] gelten.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:40 So 19.04.2009 | | Autor: | TNA-619 |
wenn man die aufgabe anders stellt:
finde eine rationale zahl, für die
[mm] (\bruch{p}{q})²\pm [/mm] 5 wieder eine rationale quadratzahl ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 21.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 19.04.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm](\bruch{p}{q})²[/mm] + 5 = [mm](\bruch{a}{x})²[/mm]
>
> [mm](\bruch{p}{q})²[/mm] - 5 = [mm](\bruch{b}{y})²[/mm]
>
> Bestimme [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
> ggT(p,q)=1
> ggT(a,x)=1
> ggT(b,y)=1
>
> Hallo :)
>
> hab mal ein bisschen rumgerechnet
>
> [mm](\bruch{p}{q})²[/mm] + 5 = [mm](\bruch{a}{x})²[/mm]
> [mm]\bruch{p²+5q²}{q²}=\bruch{a²}{x²}[/mm]
>
> [mm]p²+5q²=a²[/mm]
Das ist falsch (es würde nur gelten, wenn [mm] q^2=x^2 [/mm] vorausgesetzt wird.
Richtig ist (nach beidseitiger Multiplikation mit [mm] q^2x^2)
[/mm]
[mm] p^2x^2+5q^2x^2=a^2q^2
[/mm]
und analog
[mm] p^2y^2-5q^2y^2=b^2q^2
[/mm]
Daraus folgt [mm] 5*q^2x^2=(aq+px)(aq-px)
[/mm]
Muss leider weg, es gibt Essen. Der Faktor 5 muss rechts in einer der beiden Klammern stecken, möglicherweise musst du Reste mod 5 betrachten und findest eventuell einen Widerspruch zu den geforderten "Teilerfremdheiten").
Gruß Abakus
> bzw.
> [mm]p²-5q²=b²[/mm]
>
> [mm]a²-p²=5q²[/mm]
>
> [mm](a+p)(a-p)=5q²[/mm]
> [mm](p+b)(p-b)=5q²[/mm]
> [mm](a+p)(a-p)=(p+b)(p-b)[/mm]
>
> kommt man da weiter(faktoren) ?
>
> grüße und danke :)
>
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:21 So 19.04.2009 | | Autor: | TNA-619 |
> Daraus folgt [mm]5*q^2x^2=(aq+px)(aq-px)[/mm]
>
> Muss leider weg, es gibt Essen. Der Faktor 5 muss rechts in
> einer der beiden Klammern stecken, möglicherweise musst du
> Reste mod 5 betrachten und findest eventuell einen
> Widerspruch zu den geforderten "Teilerfremdheiten").
[mm] $(aq+px)(aq-px)\equiv [/mm] 0 mod 5$
also entweder:
[mm] $aq\equiv [/mm] pa$
oder
[mm] $aq\equiv [/mm] 5- pa (mod 5)$
analog:
[mm] $(py+bq)(py-bq)\equiv [/mm] 0 mod 5$
[mm] $py\equiv [/mm] bq$
oder
[mm] $py\equiv [/mm] 5- bqmod5$
stimmt so?
aber wie weiter? :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 21.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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