arcosh x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 29.05.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Ableitung des arcosh(x). |
Hallo,
also ich weiß ja, dass der arcosh(x) = ln(x + [mm] \wurzel[2]{x^{2}-1}) [/mm] ist. Aber wie leite ich das jetzt am besten ab?
Einfach mit Kettenregel?
Dann hätte ich doch
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x + \wurzel[2]{x^{2}-1}} [/mm] * (1 + [mm] \bruch{x}{\wurzel[2]{x^{2}-1}})
[/mm]
oder nicht?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 29.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Alles klar, das hab ich gemacht
Ich hab dann
[mm] \bruch{\wurzel[2]{x^{2}-1}+x}{x*\wurzel[2]{x^{2}-1}+x^{2}-1}
[/mm]
was soll ich damit jetzt machen? Ich erkenne da nix weiteres.
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> Alles klar, das hab ich gemacht
> Ich hab dann
>
> [mm]\bruch{\wurzel[2]{x^{2}-1}+x}{x*\wurzel[2]{x^{2}-1}+x^{2}-1}[/mm]
>
> was soll ich damit jetzt machen? Ich erkenne da nix
> weiteres.
du hättest die beiden nenner nicht ausmultiplizieren sollen, so siehst du sehr schwer, wie du kürzen kannst
[mm] \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}*\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}
[/mm]
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 29.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay ich glaub jetzt sehe ich es.
Ich nehme einfach den Zähler aus dem rechten Bruch packe ihn auf den Linken dann hab ich da eine 1 * dem Rest des anderen Bruchs.
LG
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> Okay ich glaub jetzt sehe ich es.
>
> Ich nehme einfach den Zähler aus dem rechten Bruch packe
> ihn auf den Linken dann hab ich da eine 1 * dem Rest des
> anderen Bruchs.
>
ähm ja
> LG
gruß tee
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> Berechnen sie die Ableitung des arcosh(x).
$\ arcosh(x)$ ist (für [mm] x\ge1) [/mm] diejenige nichtnegative Zahl $\ y$
mit $\ x=cosh(y)$ .
Die Ableitung der Gleichung $\ x=cosh(y)$ nach $\ y$ liefert
[mm] $\frac{dx}{dy}=sinh(y)$
[/mm]
Bildung des Kehrwerts ergibt
[mm] $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{sinh(y)}$
[/mm]
Wegen $\ [mm] y\ge0$ [/mm] ist auch $\ [mm] sinh(y)\ge0$ [/mm] , und aus
$\ [mm] cosh^2(y)-sinh^2(y)=1$
[/mm]
folgt deshalb $\ [mm] sinh(y)=\sqrt{cosh^2(y)-1}\ =\sqrt{x^2-1}$
[/mm]
und somit
$\ [mm] \left(arcosh(x)\right)'\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm] (gültig für $\ x>1$)
LG Al-Chw.
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