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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:03 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Gopal |
Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen:
Finden sie zu den Punkten (1,3), (2,1), (3,5), (4,2) im [mm] \IR^{2}Polynome [/mm] der Form
(i) [mm] a_{1}x+a_{0},
[/mm]
(ii) [mm] b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},
[/mm]
(iii) [mm] c_{3}x^{3}+c_{2}x_^{2}+c_{1}x+c_{0}
[/mm]
wir haben dafür in der Vorlesung ein Lösungsverfahren kennengelernt und in der Übung ein anderes. aber beide haben wir nur für die geradengleichung besprochen.
dementsprechend habe ich (i) gelöst: [mm] a_{1}=0,1 [/mm] und [mm] a_{0}=2,5.
[/mm]
dabei habe ich y=(3,1,5,2) und x=(1,2,3,4) gesetzt. und v=(1,1,1,1)
Vorlesung:
sei U=Span(x,v) und [mm] u_{1}, u_{2} [/mm] eine ONB von U,
dann ist [mm] u_{0}=u_{1}+u_{2} \in [/mm] U mit minimalem Abstand von y.
dann kann man das Gleichungssystem [mm] u_{0}=a_{1}x+a_{0}v [/mm] lösen.
Übung:
[mm] \Delta:= [/mm] "Fehlervektor"
dann ist [mm] y=a_{1}x+a_{0}v+ \Delta.
[/mm]
es gilt: [mm] \Delta [/mm] minimal für < [mm] \Delta,x>=0 [/mm] und < [mm] \Delta,v>=0.
[/mm]
man erhält daher durch skalarproduktbildung mit x und v zwei gleichungen mit zwei unbekannten.
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soweit so gut. aber wie mache ich meinen ansatz für (ii) und (iii)? meine versuche es analog zu machen sind irgendwie alle gescheitert. wie sehen die vektoren [mm] x^{2} [/mm] und [mm] x^{3}aus?
[/mm]
für einen hinweis wäre ich dankbar.
gopal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Hexe |
Also das Verfahren kenn ich nicht, ich kann dir aber auf jeden Fall sagen das bei dem Polynom vom Grad 3 eine exakte Lösung rauskommt - du hast 4 Punkte und 4 Unbekannte das gibt ein Gleichungssystem mit eindeutiger Lösung, das is zwar dann vielleicht nicht der weg den sie haben wollen, aber er ist auf jeden Fall richtig. Für den Vektor [mm] x^2 [/mm] würd ich auf blöd mal (1,4,9,16) nehmen oder wird das nix?
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