anwendung linearer unabh. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 03.05.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Beweisen sie:
In jedem Dreieck schneiden sich die seitenhalbierenden in einem Punkt S. Dieser Punkt S teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. |
Nochmals Hallo!
Hab leider keine skizze, hoffe es geht auch ohne.
Behauptung: [mm] \overrightarrow{AS}:\overrightarrow{AM_{a}}=2:1
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BS}:\overrightarrow{BM_{b}}=2:1
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CS}:\overrightarrow{CM_{c}}= [/mm] 2:1
Voraussetzung: [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] linear unabhängig.
[mm] \vec{a}=\overline{AB} [/mm]
[mm] \vec{b}=\overline{AC}
[/mm]
Beweis:
[mm] \overrightarrow{AS} =\bruch{2}{3}*\overrightarrow{AM_{a}} =\bruch{2}{3}*(\vec{a}+\bruch{1}{2}*(-\vec{a}+\vec{b})) =\bruch{1}{3}\vec{a}+\bruch{1}{3}\vec{b}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BS}=\bruch{2}{3}*\overrightarrow{BM_{b}} =\bruch{2}{3}*(-\vec{a}+\bruch{1}{2}\vec{b}) =-\bruch{2}{3}\vec{a}+\bruch{1}{3}\vec{b}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CS} =\bruch{2}{3}*\overrightarrow{CM_{c}} =\bruch{2}{3}*(-\bruch{1}{2}\vec{a}+\vec{b}) =-\bruch{1}{3}\vec{a}+\bruch{2}{3}\vec{b}
[/mm]
Also ich denke mal, dass was ich gemacht habe ist falsch, ich habe auch keine ahnung wie man sowas macht. Wäre sehr liebe wenn mir da jemand weiterhelfen könnte und vielleicht kennt ja jemand eine seite auf der genauere erklärungen zu solchen beweisen stehen.
GRUß KARLCHEN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Also
die Gleichung der einen Seitenhalbierenden ist:
[mm] \bruch{\vec{a}}{2} [/mm] + [mm] \lambda*(\vec{b}- \bruch{\vec{a}}{2})
[/mm]
der zweiten
[mm] \bruch{\vec{b}}{2} [/mm] + [mm] \mu*(\vec{a}- \bruch{\vec{b}}{2})
[/mm]
Schnittpunkt beide Gleichung gleichsetzen
[mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] zusammenfassen und lin.unabh.
gibt [mm] \mu=\lambda=\bruch{1}{3}
[/mm]
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