anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 26.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
ich bins mal wieder, meine frage diesmal:
y´=(x+y)²
um das AWP zu lösen(allg. lösung) muss ich x und y jeweils auf einen seite bringen, aber wie?
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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Hallo sonic444,
> ich bins mal wieder, meine frage diesmal:
> y´=(x+y)²
>
> um das AWP zu lösen(allg. lösung) muss ich x und y jeweils
> auf einen seite bringen, aber wie?
das ist eine DGL vom Typ [mm]y'\; = \;f\left( {a\;x\; + \;b\;y\; + \;c} \right)[/mm]
Hier liegt es nahe, statt y(x) die Funktion (nur der Fall [mm]b\;\not=\;0[/mm] ist interessant)
[mm]u(x)\; = \;a\;x\; + \;b\;y\; + \;c[/mm]
zu betrachten.
Ist y(x) eine Lösung, so gilt für u(x)
[mm]u'(x)\; = \;a\; + \;b\;y'\; = \;a\; + \;b\;f(u)[/mm]
Dies ist eine DGL, die man mit Trennung der Variablen lösen kann.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 29.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
hab eine weitere aufgabe, bei der ich nicht sicher bin ob ich sie richtig habe.
y´= [mm] \bruch{1}{2}( \bruch{y²}{x²}+1) [/mm] AB:y(1)=2
habe zunächst die klammer aufgelöst und die gleichung auf folgende form gebracht:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {- [mm] \bruch{1}{x²} dx}=\integral_{}^{} {\bruch{1}{y²} dy}
[/mm]
die integrale ausgewertet:
- [mm] \bruch{1}{x}+c= \bruch{1}{y} \Rightarrow [/mm] y= [mm] \bruch{x}{cx-1}
[/mm]
aus der anfangsbedingung ergibt sich dann c=1
ist das ergebnis richtig, wenn nicht was hab ich falsch gemacht?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Di 30.08.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> y´= [mm]\bruch{1}{2}( \bruch{y²}{x²}+1)[/mm] AB:y(1)=2
>
> habe zunächst die klammer aufgelöst und die gleichung auf
> folgende form gebracht:
> [mm]\integral_{}^{} {- \bruch{1}{x²} dx}=\integral_{}^{} {\bruch{1}{y²} dy}[/mm]
das ist falsch es ist die Lösung zu y'= - [mm] \bruch{y²}{x²}
[/mm]
Ob ein so einfaches Ergebnis richtig ist prüft man durch einsetzen in die DGL nach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Di 30.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
das hab ich mir schon gedacht, da mein lösungsweg zu simpel war.
bin auch sehr dankbar für den hinweis, dass die aufgabe falsch ist aber ein hinweis wo der fehler liegt wäre nicht schlecht gewesen.
denke der fehler liegt beim umformen der gleichung [mm] y´=\bruch{1}{2}(\bruch{y²}{x²}+1).
[/mm]
habe folgenden tip bekommen, der mir leider nicht richtig weiter hilft:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{y} [/mm] dy}= [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{ \bruch{1}{x}}{lnx} [/mm] dx}
nur wie komme ich auf diese form? es wäre sehr nett wenn mir jemand weiter helfen könnte, danke!
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Hallo sonic,
Ähnlich der 1. DGL bringt Dich hier Substitution weiter.
[mm]y'=f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
In solch einem Fall wählt man [mm] u=\bruch{y}{x}
[/mm]
Die von Dir angegebene Integralgleichung hat mit der DGL eigentlich nichts zu tun - zumindest sehe ich den Zusammenhang nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Di 30.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
das mit der substitution bei der ableitung scheine ich noch nicht so ganz verstanden zu haben.
ich substituiere u= [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=u´=- \bruch{y}{x²}
[/mm]
bis dahin bin ich gekommen, bin mir allerdings nicht sicher ob ich nicht schon einen fehler gemacht hab. sollte ich einen gemacht haben verbessert mich bitte. mein größtes problem ist aber, wie geht es weiter?
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Hallo sonic,
Du hast vergessen das y ja eine Funktion von x ist. In diesem Fall wäre dann Quotientenregel angesagt.
Einfach ist hier aber y=x*u abzuleiten.
Danach in die DGL einsetzen.
Also für [mm] \bruch{y}{x} [/mm] u einsetzen. und für y' das was beim ableiten rauskommt.
Dann lösen(TdV)
zurücksubstituieren.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 30.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
habe das so gemacht wie beschrieben und habe folgendes ergebnis raus:
y= [mm] \bruch{x}{tan( \bruch{1}{2}x+c)}
[/mm]
ist das korrekt?
bin wie folgt vorgegangen:
y=x*u [mm] \Rightarrow \bruch{dy}{dx}=y´=u´
[/mm]
und dann wie von Mathemaduenn beschrieben y´ durch u´= [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] ersetzt und [mm] \bruch{y²}{x²} [/mm] durch u² ersetzt.
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}= \bruch{1}{2}(u²+1)
[/mm]
wenn das wieder falsch ist, bitte helft mir, ich verzweifle an dieser aufgabe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Di 30.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
vielen dank, komme nach dem umformen auf die selben integrale.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Di 30.08.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo sonic!
Und wie lautet Deine Lösung der DGL sowie die Integrationskonstante für das Anfangswertproblem ??
Gruß vom
Roadrunner
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Leider immer noch nicht!
Produktregel