analytische geometrie < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | Der DOrfplatz eines italienischen Dorfes ist ein attraktives AUsflugsziel.Der Dorfplatz wird von drei Gebäuden begrenz.In einem der Gebäude befindet sich ein Café.Der Dorfplatz wird durch eine Straßenlampe L beleuchtet.
VOr dem Café ist eine rechteckige Markuse in zwei Punikten gleicher Höhe an der Gebäudefassade angebracht. Die Eckpunkte der Markise sind M1, M2 (-5/-5/3), M3 (-5/-1/2,5) und M4 (-9/-1/2,5).
a) Geben Sie die Koordinaten des Punktes M1 an.
b) Zu einem Zeitpunkt fällt Sonnenlicht auf die Markise.Die Sonnenstrahlen verlaufen parallel zum vektor [mm] \vec{s}= [/mm] (0/-1/-2). Die Markise erzeugt auf dem Boden des Dorfplatzes einen viereckigen Schatten.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes M4´ von M4(-9/-1/2,5) in der x1-x2- Ebene.
Begründen Sie, dass der teil des Schattens der Markise, der auf den Boden des Dorfplatzes fällt, die Form eines Rechtecks hat, und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks.
c)Die Straßenlampe wird im Punkt L von drei Stangen gehalten, die an den Kanten der drei gebäude in den Punkten P1(-2/5/6), P2(-5/-5/6) und P3(5/-5/6) verankert sind (siehe Abbildung).Zur besseren Ausleuchtung des Dorfplatzes soll die Lampe in einem anderen Punkt L´ aufgehängt werden, der von den drei Punkten P1,P2 und P3 denselben Abstand hat.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes L´. |
Hallo, also habe mir gedanken zu den jeweiligen teilaufgaben gemacht und bin auf folgende überlegungen gekommen :
zu a) M1 = ? 00 => M1 = [mm] \overrightarrow{0M2} [/mm] + [mm] \overrightarrow{M3M4} [/mm] = (-9/-5/3). kann man das so machen ?
b) wie gehe ich hierbei am besten vor ?muss ich noch eine gerade aufstellen? und wie bestimmte ich den flächeninhalt des rechtecks?
d) muss ich hier die hessesche normalenform anwenden?oder wie gehe ich hier vor??
Vielen Dank!!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
kann mir vielleicht jemand helfen ?
wäre euch sehr dankbar!
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Hallo Rambo,
> Der DOrfplatz eines italienischen Dorfes ist ein
> attraktives AUsflugsziel.Der Dorfplatz wird von drei
> Gebäuden begrenz.In einem der Gebäude befindet sich ein
> Café.Der Dorfplatz wird durch eine Straßenlampe L
> beleuchtet.
>
> VOr dem Café ist eine rechteckige Markuse in zwei Punikten
> gleicher Höhe an der Gebäudefassade angebracht. Die
> Eckpunkte der Markise sind M1, M2 (-5/-5/3), M3 (-5/-1/2,5)
> und M4 (-9/-1/2,5).
>
> a) Geben Sie die Koordinaten des Punktes M1 an.
> b) Zu einem Zeitpunkt fällt Sonnenlicht auf die
> Markise.Die Sonnenstrahlen verlaufen parallel zum vektor
> [mm]\vec{s}=[/mm] (0/-1/-2). Die Markise erzeugt auf dem Boden des
> Dorfplatzes einen viereckigen Schatten.
> Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes M4´ von
> M4(-9/-1/2,5) in der x1-x2- Ebene.
> Begründen Sie, dass der teil des Schattens der Markise,
> der auf den Boden des Dorfplatzes fällt, die Form eines
> Rechtecks hat, und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses
> Rechtecks.
>
> c)Die Straßenlampe wird im Punkt L von drei Stangen
> gehalten, die an den Kanten der drei gebäude in den Punkten
> P1(-2/5/6), P2(-5/-5/6) und P3(5/-5/6) verankert sind
> (siehe Abbildung).Zur besseren Ausleuchtung des Dorfplatzes
> soll die Lampe in einem anderen Punkt L´ aufgehängt werden,
> der von den drei Punkten P1,P2 und P3 denselben Abstand
> hat.
> Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes L´.
> Hallo, also habe mir gedanken zu den jeweiligen
> teilaufgaben gemacht und bin auf folgende überlegungen
> gekommen :
>
> zu a) M1 = ? 00 => M1 = [mm]\overrightarrow{0M2}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{M3M4}[/mm] = (-9/-5/3). kann man das so machen
> ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) wie gehe ich hierbei am besten vor ?muss ich noch eine
> gerade aufstellen? und wie bestimmte ich den flächeninhalt
> des rechtecks?
Für jeden Eckpunkt der Markise musst Du eine Gerade aufstellen
und diese dann mit der x1-x2-Ebene schneiden.
(Im Grund reicht eine Gerade aus)
>
> d) muss ich hier die hessesche normalenform anwenden?oder
> wie gehe ich hier vor??
>
Die Punkt P1, P2, P3 sollen alle von L' den gleichen Abstand haben,
das heißt
[mm]\vmat{P1-L'}=\vmat{P2-L'}=\vmat{P3-L'}[/mm]
Das heißt ja nichts anderes, daß P1, P2, P3 auf einem Kreis mit Mittelpunkt L' liegen.
>
> Vielen Dank!!!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
zu b) wie lautet denn dann ein möglicher ansatz? muss ja den vektor s (0/-1/-2) auch unterbringen oder? wie errechne ich denn zunächst die koordinaten von M4´?
zu d) wie setze ich am besten an?
mit den ansätzen würde ich eventuell weiter kommen:)
Danke!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Rambo,
}
> zu b) wie lautet denn dann ein möglicher ansatz? muss ja
> den vektor s (0/-1/-2) auch unterbringen oder? wie errechne
> ich denn zunächst die koordinaten von M4´?
Nun, hier bildest Du die Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OM_{4}}+\lambda*\overrightarrow{s}[/mm]
Diese schneidest Du mit der x1-x2-Ebene und erhältst dann den Punkt [mm]M_{4}'[/mm]
>
> zu d) wie setze ich am besten an?
Zweckmäßigerweise betrachtet man hier das Abstandsquadrat.
Dann ergeben sich folgende Gleichungen:
[mm]\vmat{P1-L'}^{2} = \vmat{P2-L'}^{2} [/mm]
[mm]\vmat{P1-L'}^{2} = \vmat{P3-L'}^{2} [/mm]
bzw.
[mm]\left(P1-L'\right) \* \left(P1-L'\right) = \left(P2-L'\right) \* \left(P2-L'\right) [/mm]
[mm]\left(P1-L'\right) \* \left(P1-L'\right) = \left(P3-L'\right) \* \left(P3-L'\right) [/mm]
>
> mit den ansätzen würde ich eventuell weiter kommen:)
>
> Danke!
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
b) also habe jetzt die koordinaten von b errechnet ?kann es sein das es die koordinaten von M4 sind? kommt mir was merkwürdig vor?
zu c) L´ kenn ich doch garnicht?!
Danke!
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Hallo Rambo,
> b) also habe jetzt die koordinaten von b errechnet ?kann es
> sein das es die koordinaten von M4 sind? kommt mir was
> merkwürdig vor?
Poste doch mal Deine Rechenschritte.
>
>
> zu c) L´ kenn ich doch garnicht?!
Setze [mm]L'=\pmat{x \\ y \\ z}[/mm] an, wobei zunächst x,y,z unbekannt sind.
>
> Danke!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
also zu b) :
g : [mm] \vec{x} [/mm] = (-9/-1/2,5) + p * (0/-1/-2)
E : [mm] \vec{x} [/mm] = (-5/-5/3) + r * (0/4/-0,5) + s * (-4/0/0)
nun habe ich gleichgesetzt :
-4 = -4s
4=p+4r
-0,5=2p-0,5r
s=1 ^ r =1 ^ p=0
dann p = o in g und s=1 , r= 1 in E eingesetzt:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = (-9/-1/2,5) + 0 * (0/-1/-2) = (-9/-1(2,5)
s=1 und r =1 in E einsetzen :
E: [mm] \vec{x} [/mm] = (-5/-5/3) + 1 * (0/4/-0,5) + 1 *(-4/0/0) = (-9/-1/2,5)
stimmt das so?
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Hallo Rambo,
> also zu b) :
>
> g : [mm]\vec{x}[/mm] = (-9/-1/2,5) + p * (0/-1/-2)
> E : [mm]\vec{x}[/mm] = (-5/-5/3) + r * (0/4/-0,5) + s * (-4/0/0)
>
> nun habe ich gleichgesetzt :
>
> -4 = -4s
> 4=p+4r
> -0,5=2p-0,5r
>
> s=1 ^ r =1 ^ p=0
>
> dann p = o in g und s=1 , r= 1 in E eingesetzt:
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = (-9/-1/2,5) + 0 * (0/-1/-2) = (-9/-1(2,5)
>
> s=1 und r =1 in E einsetzen :
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = (-5/-5/3) + 1 * (0/4/-0,5) + 1 *(-4/0/0) =
> (-9/-1/2,5)
>
> stimmt das so?
Leider nicht.
Ich habe gemeint, schneide die Gerade g mit der x1-x2-Ebene (x3=0)
Setze also [mm]2,5-2p=0 \Rightarrow p = 1,25[/mm]
Damit gehst Du in die Gerade g:
[mm]\overrightarrow{OM_{4}}'=(-9/-1/2,5) + 1,25 * (0/-1/-2)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
zu c )
wenn ich jetzt L' = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und dann ??
blick hierbei noch nicht ganz durch, das andere hab ich recht gut verstanden jetzt
DANKE!
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Hallo Rambo,
> zu c )
>
> wenn ich jetzt L' = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] und dann ??
[mm] \left(P1-L'\right) * \left(P1-L'\right) = \left(P2-L'\right) * \left(P2-L'\right) [/mm]
[mm]\gdw P1 \* P1-2 P1 \* L' + L'\* L' =P2 \* P2 - 2 P2 \* L' + L' \* L'[/mm]
[mm]\gdw P1 \* P1 - P2 \* P2 +2 * \left(P2 - P1 \right) \* L' = 0 [/mm]
"[mm] \* [/mm]" ist hierbei das Skalarprodukt.
Die Gleichung
[mm] \left(P1-L'\right) * \left(P1-L'\right) = \left(P3-L'\right) * \left(P3-L'\right) [/mm]
ist analog so aufzulösen.
Dann hast Du ein lineares Gleichungssystem zu lösen:
[mm]\left(1\right) \ P1 \* P1 - P2 \* P2 +2 * \left(P2 - P1 \right) \* L' = 0 [/mm]
[mm]\left(2\right) \ P1 \* P1 - P3 \* P3 +2 * \left(P3 - P1 \right) \* L' = 0 [/mm]
bzw.
[mm]\left(1\right) \ P1 \* P1 - P2 \* P2 +2 * \left(P2 - P1 \right) \* \pmat{x \\ y \\ z} = 0 [/mm]
[mm]\left(2\right) \ P1 \* P1 - P3 \* P3 +2 * \left(P3 - P1 \right) \* \pmat{x \\ y \\ z} = 0 [/mm]
>
> blick hierbei noch nicht ganz durch, das andere hab ich
> recht gut verstanden jetzt
>
> DANKE!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
aber L´ hab ich doch nicht oder?!
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Hallo Rambo,
> aber L´ hab ich doch nicht oder?!
Das L' wird aus dem gegebenem Gleichungssystem in Form von [mm]\pmat{x \\ y \\ z}[/mm] ermittelt.
Gruß
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:21 Di 17.03.2009 | | Autor: | Rambo |
ich glaube ein ansatz mit bestimmten koordianten würde mir hierbei sicherlich wieder weiterhelfen. wäre sehr dankbar!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 17.03.2009 | | Autor: | weduwe |
ein alternativer ansatz wäre es , den umkreismittelpunkt des dreiecks [mm] P_1,P_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] in derebene z = 6 zu bestimmen, dazu löst man
das system zweier mittelsenkrechten geraden:
[mm] \overrightarrow{OP}_2+\frac{1}{2}\overrightarrow{P_2P}_1+s\cdot\overrightarrow{P_2P}_1\times\vektor{0\\0\\1}=\overrightarrow{OP}_2+\frac{1}{2}\overrightarrow{P_2P}_3+t\cdot\overrightarrow{P_2P}_3\times\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
und setzt dann für s bzw. t ein
alle punkte [mm] L^\prime [/mm] liegen dann auf der geraden durch [mm] L^\prime(0/-1.05/6) [/mm] mit richtungsvektor [mm] \vec{r}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
man kann auch gleich 2 mittelsenkrechte ebenen aufstellen und deren schnittgerade bestimmen.
vermutlich soll man aber den punkt [mm] L^\prime(x/y/6) [/mm] bestimmen 
aber auch der weg der schnittkreise/kugeln ist hier sehr einfach, weil ohnehin alles wegfällt und sich sofort die x-koordinate ergibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Rambo |
zu a ) Begründen SIe , dass der Teil des Schattens der Markise ,der auf den Boden des Dorfplatzes fällt, die Form eines Rechtecks hat, und berechnen sie den Flächeninhalt des Rechtecks .
wie gehe ich hierbei am besten vor ??
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mi 18.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> zu a ) Begründen SIe , dass der Teil des Schattens der
> Markise ,der auf den Boden des Dorfplatzes fällt, die Form
> eines Rechtecks hat, und berechnen sie den Flächeninhalt
> des Rechtecks .
>
> wie gehe ich hierbei am besten vor ??
>
> Danke!
du kannst einfach die 4 "schatten"punkte berechnen
(da du eh die fläche brauchst)
vermutlich genügt [mm] \vec{l}\cdot\overrightarrow{M_3M}_4=0
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Rambo |
was ist denn dann [mm] \vec{l} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mi 18.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> was ist denn dann [mm]\vec{l}[/mm] ?
na was wohl,
der vektor des lichtstrahles, daher l wie leuchte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Rambo |
wäre das dann :
(0/0/5) * (-4/0/0) = 0
und nun ?stimmt das so;habe die punkte eingesetzt?wie bestimmt ich das rechteck?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mi 18.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> wäre das dann :
>
> (0/0/5) * (-4/0/0) = 0
genau deswegen.
>
> und nun ?stimmt das so;habe die punkte eingesetzt?wie
> bestimmt ich das rechteck?
lege eine gerade g durch z.b [mm] M_1 [/mm] mit dem richtungsvektor [mm] \vec{l} [/mm] und schneide g mit der xy-ebene, das ergibt [mm] M^\prime_1 [/mm] usw.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:20 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Rambo |
ja habe dann die gerade : g : [mm] \vec{x} [/mm] = (-9/-5/3) + v * (0/0/5) mit der Ebene aus Aufgabenteil a gleichgesetzt und folgendes heraus : M1´ = (-9/-5/3) .aber das ist doch auch M1. kann das sein ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Do 19.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Do 19.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> ja habe dann die gerade : g : [mm]\vec{x}[/mm] = (-9/-5/3) + v *
> (0/0/5) mit der Ebene aus Aufgabenteil a gleichgesetzt und
> folgendes heraus : M1´ = (-9/-5/3) .aber das ist doch auch
> M1. kann das sein ?
das ist unsinn
[mm] \vec{l} =\vektor{0\\-1\\-2} [/mm] laut angabe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 18.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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