alternierende normalform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:38 Di 05.08.2008 | | Autor: | natea |
| Aufgabe | Sei V = [mm] \IR^3, [/mm] und sei A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } [/mm] . Sei [mm] \beta [/mm] : V x V [mm] \to \IR [/mm] definiert durch [mm] \beta [/mm] (x, y) = [mm] x^T [/mm] Ay für alle x, y [mm] \in [/mm] V.
a) Bestimmen Sie eine Basis von V, so dass A( [mm] \beta [/mm] ) = [mm] M_B [/mm] ( [mm] \beta [/mm] ) die alternierende Normalform zu [mm] \beta [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix P, so dass A ( [mm] \beta [/mm] ) = [mm] P^T [/mm] AP ist. |
Hallo,
kann mir jemand vielleicht mit dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich da rangehen soll. Die Lösung liegt mir zwar vor, aber ich blicke überhaupt nicht durch . Da meine Zeit bis zur Klausur sehr begrenzt ist, wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ich erwarte auch garnicht, dass mir jemand die komplette Aufgabe vorrechnet, da ich ja selber keinen Ansatz zu bieten habe und im Moment relativ ahnungslos bin. Aber vielleicht kann mir ja doch jemand weiterhelfen und vielleicht das Prinzip der Berechnung verdeutlichen. Wäre wirklich sehr dankbar dafür!
Viele Grüße !
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> Sei V = [mm]\IR^3,[/mm] und sei A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 }[/mm]
> . Sei [mm]\beta[/mm] : V x V [mm]\to \IR[/mm] definiert durch [mm]\beta[/mm] (x, y) =
> [mm]x^T[/mm] Ay für alle x, y [mm]\in[/mm] V.
>
> a) Bestimmen Sie eine Basis von V, so dass A( [mm]\beta[/mm] ) = [mm]M_B[/mm]
> ( [mm]\beta[/mm] ) die alternierende Normalform zu [mm]\beta[/mm] ist.
>
> b) Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix P, so dass A (
> [mm]\beta[/mm] ) = [mm]P^T[/mm] AP ist.
> Hallo,
>
> kann mir jemand vielleicht mit dieser Aufgabe weiterhelfen.
> Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich da rangehen soll.
> Die Lösung liegt mir zwar vor, aber ich blicke überhaupt
> nicht durch .
Hallo,
schade, daß Du die Dir vorliegende Lösung hier nicht vorstellst, dann könnte man sie zusammen durchgehen - ohne alles selbst denken, rechnen und tippen zu müssen.
Da meine Zeit bis zur Klausur sehr begrenzt
> ist, wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte.
Ich selbst müßte zunächst auch erstmal nachlesesn.
Was ist denn eigentlich eine alternierende Normalform? Dies hier: [mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 &0&0\\ 0&0&0} [/mm] ?
Daran kann man ja schon einiges darüber ablesen, was die Basis tun muß.
> Ich erwarte auch garnicht, dass mir jemand die
> komplette Aufgabe vorrechnet, da ich ja selber keinen
> Ansatz zu bieten habe und im Moment relativ ahnungslos bin.
Tja, dahinter kann sich ziemlich viel verbergen, von leichten Defiziten bis zum völligen Unverständnis.
Weißt Du denn, wie man die Darstellungsmatrizen für Bilinearformen bekommt, und wie eine Basistransformation für Bilinearformen aussieht?
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:06 Mi 06.08.2008 | | Autor: | natea |
Hallo nochmal,
> Hallo,
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> schade, daß Du die Dir vorliegende Lösung hier nicht
> vorstellst, dann könnte man sie zusammen durchgehen - ohne
> alles selbst denken, rechnen und tippen zu müssen.
Hier nun also die angegebene Lösung:
Gesucht ist eine Basis von V, so dass A ( [mm] \beta [/mm] ) = [mm] M_B [/mm] ( [mm] \beta [/mm] ) die alternierende Normalform zu [mm] \beta [/mm] ist.
Um solch eine Basis zu finden, gehen wir wie im Beweis des Satzes 4.3.9 vor. ()
Da [mm] \beta \not= [/mm] 0 , gibt es Vektoren [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2 [/mm] , so dass [mm] \beta (u_1, u_2 [/mm] ) [mm] \not= [/mm] 0 ist. Wir probieren mit den Standardbasisvektoren und erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 } \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = 1
Nun suchen wir einen Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c} \in \IR^3, [/mm] so dass
[mm] \pmat{ a & b & c } \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = -b-2c = 0
und
[mm] \pmat{ a & b & c } \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = a - 3c = 0
ist.
Wir erhalten ein Gleichungssystem, von dem etwa [mm] u_3 [/mm] = [mm] \vektor{ -3 \\ 2 \\ -1 } [/mm] eine Lösung ist. Setzt B = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ -1} [/mm] . Wie im Beweis des Satzes gezeigt wurde, gilt [mm] M_B [/mm] ( [mm] \beta [/mm] ) = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}.
[/mm]
Diese Matrix ist dann also auch die gesuchte Matrix P, wie man durch Einsetzen in [mm] P^T [/mm] AT leicht sieht, da sich so die gesuchte alternierende Normalform ergibt.
So, das war die Lösung. Der hier angesprochene Beweis ist relativ lang und umfangreich, so dass ich ihn hier nicht aufschreibe. Ich verstehe ihn auch nicht. Aber ich glaube, dass er allgemein von der Definition von alternierenden Normalformen handelt.
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> Da meine Zeit bis zur Klausur sehr begrenzt
> > ist, wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen
> > könnte.
>
> Ich selbst müßte zunächst auch erstmal nachlesesn.
>
> Was ist denn eigentlich eine alternierende Normalform? Dies
> hier: [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 &0&0\\ 0&0&0}[/mm] ?
Ja, genau. Das ist eine alternierende Normalform. Sie besteht immer aus solchen Blöcken [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }, [/mm] die sich auf der Hauptdiagonalen der Matrix befinden, wobei der Rest der Matrix mit Nullen aufgefüllt wird. Die Anzahl dieser Blöcke ist immer gleich 1/2 Rang ( [mm] \beta [/mm] ), so dass der Rang von alternierenden Bilinearformen immer gerade sein muss.
>
Daran kann man ja schon einiges darüber ablesen, was die
> Basis tun muß.
Wie und was kann ich denn an dieser Matrix ablesen, was die Basis tun muss. Ich fürchte mir fehlt es da am allgemeinen Verständnis?!
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> > Ich erwarte auch garnicht, dass mir jemand die
> > komplette Aufgabe vorrechnet, da ich ja selber keinen
> > Ansatz zu bieten habe und im Moment relativ ahnungslos bin.
>
> Tja, dahinter kann sich ziemlich viel verbergen, von
> leichten Defiziten bis zum völligen Unverständnis.
> Weißt Du denn, wie man die Darstellungsmatrizen für
> Bilinearformen bekommt,
Die Darstellungsmatrizen für Bilinearformen bezüglich einer bestimmten Basis bekommt man wie folgt: Angenommen man hat z. B. die Basis B = ( [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] ) gegeben und eine eindeutige Darstellung der Bilinearform. Dann sieht die Darstellungsmatrix wie folgt aus:
[mm] \pmat{ \beta ( v_1 , v_1 ) & \beta ( v_1 , v_2 ) \\ \beta ( v_2 , v_1 ) & \beta ( v_2 , v_2 ) }. [/mm] Ist das richtig so?
>und wie eine Basistransformation
> für Bilinearformen aussieht?
>
Also, ich weiß, dass Darstellungsmatrizen A und B für ein und dieselbe Bilinearform, aber bezüglich unterschiedlicher Basen kongruent zueinander sind. D.h. also, dass es eine invertierbare Matrix P gibt, so dass gilt: A = [mm] P^T [/mm] BP, wobei A = [mm] M_C [/mm] ( [mm] \beta [/mm] ) und B = [mm] M_B \beta [/mm] ). Um die Matrix P in diesem Fall zu erhalten muss man nun die Basiselemente der Basis C als Linearkombinationen der Basis B ausdrücken. Die so erhaltenen Koordinatenvektoren, die man so erhält sind dann die Spalten von P. Ist das richtig so?
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 06.08.2008 | | Autor: | natea |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand helfen. Und mir vielleicht einmal das Prinzip der Vorgehensweise ( s. o. ) erläutern?!
Wäre sehr dankbar dafür!
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Hallo,
ich kenne weder den Satz, auf den sich alles bezieht, nicht, und den Beweis dazu schon gar nicht.
Ich nehme mal an, daß in dem Satz gezeigt wird, daß man jede schiefsymmetrische Bilinearform auf alternierende Normalform bringen muß.
Ich vermute, daß dieser Beweis konstruktiv geführt wird, indem gezeigt wird, wie man zu einer passenden Basis kommt.
Was wird getan in der Lösung der Aufgabe? Es werden zunächst zwei linear unabhängige [mm] u_1, u_2 [/mm] Vektoren gesucht, für die [mm] u^{t}_1Au_2\not=0 [/mm] ist.
Falls nicht zufällig 1 heraus kommt, kann man sich die beiden Vektoren ja passend "zurechtdividieren". Kommt 3 heraus, dividierst Du beide durch [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Danach wird dann ein Vektor [mm] u_3 [/mm] berechnet, für welchen [mm] \beta(u_3, u_1)=0 [/mm] und [mm] \beta(u_3, u_2)=0 [/mm] ist.
Anscheinend ist es so, daß im Beweis gezeigt wurde, daß diese Vektoren beretis alles erforderliche tun.
An welcher Stelle liegt denn Dein Problem genau?
> Hier nun also die angegebene Lösung:
>
> Gesucht ist eine Basis von V, so dass A ( [mm]\beta[/mm] ) = [mm]M_B[/mm] (
> [mm]\beta[/mm] ) die alternierende Normalform zu [mm]\beta[/mm] ist.
>
> Um solch eine Basis zu finden, gehen wir wie im Beweis des
> Satzes 4.3.9 vor. ()
> Da [mm]\beta \not=[/mm] 0 , gibt es Vektoren [mm]u_1[/mm] , [mm]u_2[/mm] , so dass
> [mm]\beta (u_1, u_2[/mm] ) [mm]\not=[/mm] 0 ist. Wir probieren mit den
> Standardbasisvektoren und erhalten:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 } \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] = 1
>
> Nun suchen wir einen Vektor [mm]\vektor{a \\ b \\ c} \in \IR^3,[/mm]
> so dass
> [mm]\pmat{ a & b & c } \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> = -b-2c = 0
>
> und
>
> [mm]\pmat{ a & b & c } \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 } \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = a - 3c = 0
>
> ist.
> Wir erhalten ein Gleichungssystem, von dem etwa [mm]u_3[/mm] =
> [mm]\vektor{ -3 \\ 2 \\ -1 }[/mm] eine Lösung ist. Setzt B =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-3 \\ 2 \\ -1}[/mm]
> . Wie im Beweis des Satzes gezeigt wurde, gilt [mm]M_B[/mm] ( [mm]\beta[/mm]
> ) = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
>
> Diese Matrix ist dann also auch die gesuchte Matrix P, wie
> man durch Einsetzen in [mm]P^T[/mm] AT leicht sieht, da sich so die
> gesuchte alternierende Normalform ergibt.
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 &0&0\\ 0&0&0}[/mm] ?
>
> Ja, genau. Das ist eine alternierende Normalform. Sie
> besteht immer aus solchen Blöcken [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 },[/mm]
> die sich auf der Hauptdiagonalen der Matrix befinden, wobei
> der Rest der Matrix mit Nullen aufgefüllt wird. Die Anzahl
> dieser Blöcke ist immer gleich 1/2 Rang ( [mm]\beta[/mm] ), so dass
> der Rang von alternierenden Bilinearformen immer gerade
> sein muss.
> >
> Daran kann man ja schon einiges darüber ablesen, was die
> > Basis tun muß.
>
> Wie und was kann ich denn an dieser Matrix ablesen, was die
> Basis tun muss. Ich fürchte mir fehlt es da am allgemeinen
> Verständnis?!
Du schreibst es ja unten selbst: man kann daran sehen, daß es drei Vekoren [mm] u_1, u_2, u_3 [/mm] gibt mit
[mm] \beta(u_i, u_j)=0 [/mm] außer für (i,j)=(1,2) und (i,j)=(2,1).
Eigentlich würde man jetzt viel zu rechnen haben, aber dank des im Beweis des Satzes Gezeigten schrumpft es sehr zusammen.
Mit der gefundenen Basis hast du dann ja schon die Transformationsmatrix, rechne es nach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 So 10.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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