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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:52 Mi 03.10.2007 | | Autor: | studi81 |
| Aufgabe | | Für n [mm] \ge [/mm] 3 operiert An (mit der gewöhnlichen Operation) transitiv auf {1,...,n} |
Also ich definiere g [mm] \in [/mm] Sn so
g(1)=s
g(2)=2
.
.
g(s)=1
g(n)=1
Jetzt muss ich zeigen ob g [mm] \in [/mm] An ist, bzw soll ich ein g' dazuholen?
Wie sieht der aufgeschriebener Beweis aus, mir ist klar dass für n [mm] \ge [/mm] 3 es geht weil ich die anderen Zahlen umtauschen kann, ich meine zB kann ich 1 auf 3 abbilden und dann 3 auf 2, und dann habe ich die 1 auf der Richtigen Stelle und eine gerade Anzahl von Transpositionen.
Ich habe zwar den Sinn erfasst aber wie ich es als Beweis aufschreiben kann weiß ich nicht.
Definiert g [mm] \in [/mm] Sn haben wir als Tipp bekommen, jetzt habe ich das oben definiert, hat mich aber noch mehr iritiert.
Bedanke mich im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich definiere g [mm]\in[/mm] Sn so
> g(1)=s
> g(2)=2
> .
> .
> g(s)=1
> g(n)=1
was genau ist denn $s$? das kommt hier einfach ohne definition vor?
also ich würde das so angehen: eine gruppe $G$ operiert transitiv auf [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1, 2, ..., n\}$, [/mm] wenn zu gegeben $a, b [mm] \in \Omega$ [/mm] ein $g [mm] \in [/mm] G$ existiert mit $g(a) = b$.
nun definiere $g'$ durch $g'(a) = b$, $g'(b) = a$ und $g'(i) = i$ für $i [mm] \not\in \{a, b\}$. [/mm] dann ist $g' [mm] \in S_n$ [/mm] und man sieht leicht, dass [mm] $\textrm{sig} [/mm] (g') = -1$, also $g' [mm] \not\in A_n$. [/mm] also muss man noch etwas an $g'$ ändern damit es das gewünschte leistet. wähle etwa $c [mm] \in \Omega \setminus \{a, b \}$ [/mm] (das geht, da $n [mm] \geq [/mm] 3$) und definiere eine abbildung $g$ durch
$g(a) = b$
$g(b) = c$
$g(c) = a$
$g(i) = i$ für $i [mm] \not\in \{a, b, c\}$ [/mm]
und zeige, dass $g [mm] \in A_n$ [/mm] etwa indem du $g$ als vekettung zweier transpositionen schreibst.
grüße
andreas
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