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alternierende Exponentialreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mo 24.10.2011
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Bestimmen Sie den Reihenwert von

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}}[/mm]




Offensichtlich versteckt sich in der Reihe die exponentialreihe, für die bekanntlich gilt:

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]

Die gegebene Reihe lässt sich umformen zu:

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}} = e^2*2^2\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k}}{k!}}[/mm]

Nun stört eigentlich "nur" noch das [mm] (-1)^k. [/mm]

Mein Ansatz die Ableitung der geometrischen Reihe zu betrachten, hat mich jedoch nicht weiter gebracht:

Es ist

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
=> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = \bruch{\partial}{\partial x}e^x[/mm]

=>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k-1}}{k!}} = e^x[/mm]
Da für $k=0$ der Summand 0 ist, kann dieser auch weggelassen werden
=>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(k+1)*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
Hier sehe ich eigentlichs chon icht mehr ob mir das überhaupt was bringt, aber ausklammern liefert:
=>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]

Sei $x := -1$ dann ist

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} =e^{-1}[/mm]

D.h.
[mm]e^{-1} - \summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} = \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)*k!}}[/mm]

Von der Form zwar schon relativ "nah" an der gegebenen Reihe. Aber irgendwie nicht zielführend.

Hat jemand irgendwelche Tipps?


        
Bezug
alternierende Exponentialreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mo 24.10.2011
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den Reihenwert von
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}}[/mm]
>  
>
>
> Offensichtlich versteckt sich in der Reihe die
> exponentialreihe, für die bekanntlich gilt:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
>  
> Die gegebene Reihe lässt sich umformen zu:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}} = e^2*2^2\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k}}{k!}}[/mm]
>  
> Nun stört eigentlich "nur" noch das [mm](-1)^k.[/mm]

Warum ? Verpacks doch mit der 2:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k}}{k!}}= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-2)^k}{k!}=e^{-2} [/mm]


FRED

>  
> Mein Ansatz die Ableitung der geometrischen Reihe zu
> betrachten, hat mich jedoch nicht weiter gebracht:
>  
> Es ist
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
>  =>

> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = \bruch{\partial}{\partial x}e^x[/mm]
>  
> =>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k-1}}{k!}} = e^x[/mm]
>  Da
> für [mm]k=0[/mm] der Summand 0 ist, kann dieser auch weggelassen
> werden
>  =>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(k+1)*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
>  
> Hier sehe ich eigentlichs chon icht mehr ob mir das
> überhaupt was bringt, aber ausklammern liefert:
>  
> =>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
>  
> Sei [mm]x := -1[/mm] dann ist
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} =e^{-1}[/mm]
>  
> D.h.
>  [mm]e^{-1} - \summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} = \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)*k!}}[/mm]
>  
> Von der Form zwar schon relativ "nah" an der gegebenen
> Reihe. Aber irgendwie nicht zielführend.
>  
> Hat jemand irgendwelche Tipps?
>  


Bezug
                
Bezug
alternierende Exponentialreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Mo 24.10.2011
Autor: NightmareVirus

*autsch* ;)


Bezug
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