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Hallo Zusammen,
Ich hatte das hier schon mal gefragt ("positive Eigenwerte"). Aber ich habe das jetzt ein wenig anders gelöst, und wollte fragen, ob es richtig ist:
| Aufgabe | | Die Eigenwerte einer symmetrischen und positiv definiten Matrix [m]A [mm] \in M\left(m \times n, \IK\right) [/mm] sind positive reelle Zahlen. |
Beweis:
Sei [m]A \in M\left(m \times n, \IK\right)[/m] symmetrisch, so daß [m]\forall x \in \IK^n :\left( {x^T Ax > 0} \right) \wedge \left( {x \ne 0} \right)[/m] gilt. Sei [m]\lambda \in \IK[/m] mit [m]Ax = \lambda x[/m]. Wir formen um: [m]Ax = \lambda x \gdw x^T Ax = x^T \lambda x[/m]. Wir wissen, daß [m]x^T Ax > 0.[/m] Damit [m]x^T \lambda x > 0.[/m]
[m]\begin{gathered}
\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{wegen}} \\
{\text{Symmetrie}}
\end{subarray}} x^T A^T x = x^T \lambda x\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{folgende Umformung}} \\
{\text{kenne ich jetzt seit}} \\
{\text{einem anderen Beweis ; - )}}
\end{subarray}} \underbrace {\left( {Ax} \right)^T x}_{ > 0} = x^T \lambda x \Leftrightarrow \left( {\lambda x} \right)^T x = x^T \lambda x \hfill \\
\Leftrightarrow x^T \lambda x = x^T \lambda x > 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Insbesondere gilt für $x = [mm] e^{\left(i\right)}: \lambda [/mm] > 0$. [mm] $\square$
[/mm]
Ist das so richtig?
Mit der Rückrichtung habe ich leider generell Schwierigkeiten:
Sei also $A [mm] \in \left(m \times n, \IK\right)$, [/mm] so daß [m]\forall x \in \IK^n \;\exists \lambda \in \IK_ + :Ax = \lambda x[/m]. [mm] $A\!$ [/mm] sei außerdem symmetrisch.
Beweisskizze:
[m]x = c_1 r_1 + \ldots + c_n r_n ,\,r_i[/m] Eigenvektor von [mm] $\lambda$; $r_i$ [/mm] normiert. Einsetzen in [mm] $x^T [/mm] Ax$: [m]Ax = c_1 \underbrace {Ar_1 }_{ = \lambda _1 r_1 } + \ldots + c_n \underbrace {Ar_n }_{ = \lambda _n r_n }[/m]:
[m]x^T Ax\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{orthogonale}} \\
{\text{Norm}}
\end{subarray}} c_1^2 \lambda _1 r_1 + r_1 + c_2^2[/m]
[m]\lambda _2 r_2^T r_2 + \ldots + c_n^2 \lambda _n \underbrace {r_n^T r_n }_{ = 1} = c_1^2 \lambda _1 + \ldots + c_n^2 \lambda _n > 0[/m]; für $x [mm] \ne [/mm] 0$ ist mindestens ein [m]c_i \ne 0 \Rightarrow \text{Behauptung}[/m]
Kann mir jemand diesen Beweis erklären?
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:34 Di 15.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Karl!
> Ist das so richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Mit der Rückrichtung habe ich leider generell Schwierigkeiten:
>
> Sei also [mm]A \in \left(m \times n, \IK\right)[/mm], so daß [m]\forall x \in \IK^n \;\exists \lambda \in \IK_ + :Ax = \lambda x[/m].
> A sei außerdem symmetrisch.
>
> [..]
>
> [m]x = c_1 r_1 + \ldots + c_n r_n ,\,r_i[/m] Eigenvektor von
> [mm]\lambda[/mm];
> [mm]r_i[/mm] normiert.
Da $A$ symmetrisch ist, gibt es eine ON-Basis des [mm] $\IK^n$, [/mm] bestehend aus Eigenvektoren von $A$.
> Einsetzen in [mm]x^T Ax[/mm]: [m]Ax = c_1 \underbrace {Ar_1 }_{ = \lambda _1 r_1 } + \ldots + c_n \underbrace {Ar_n }_{ = \lambda _n r_n }[/m].
Das ist doch klar, oder? Die [mm] $r_i$ [/mm] sind halt Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$, [/mm] d.h. es gilt: [mm] $Ar_i [/mm] = [mm] \lambda_i r_i$.
[/mm]
> [m]x^T Ax\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
> {\text{orthogonale}} \\
> {\text{Norm}}
> \end{subarray}} c_1^2 \lambda _1 r_1 + c_2^2[/m]
> [m]\lambda _2 r_2^T r_2 + \ldots + c_n^2 \lambda _n \underbrace {r_n^T r_n }_{ = 1} = c_1^2 \lambda _1 + \ldots + c_n^2 \lambda _n > 0[/m];
Ja, klar, die [mm] $(r_i)_{i=1,2,\ldots,n}$ [/mm] bilden eine ON-Basis von $A$, d.h. es gilt:
[mm] $r_i^Tr_i [/mm] =1$
und
[mm] $r_i^T r_j [/mm] = 0$ für $i [mm] \ne [/mm] j$.
Die Summe [mm] $\sum\limits_{i=1}^n c_i^2$ [/mm] von Quadraten ist nichtnegativ.
> für [mm]x \ne 0[/mm] ist mindestens ein [m]c_i \ne 0 \Rightarrow \text{Behauptung}[/m].
Für $x [mm] \ne [/mm] 0$ ist $x^TAx>0$ zu zeigen.
Aber wegen [mm] $x=\sum\limits_{i=1}^n c_i [/mm] r_ i$ muss mindestens ein [mm] $c_i \ne [/mm] 0$ sein. Denn sonst wäre $x=0$.
Dann ist aber
$x^TAx = [mm] \sum\limits_{i=1}^n c_i^2$
[/mm]
eine Summe nichtnegativer Zahlen, von denen mindestens eine positiv ist. D.h. der Ausdruck ist positiv.
Ist es jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Stefan
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