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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils die allgemeine Normalform der folgenden Matrizen, aufgefasst als Matrizen über [mm] \IQ,\IR [/mm] und [mm] \IC.
[/mm]
[mm] a)\pmat{1& 0& 1\\0 &1 &0\\0 &0 &1} b)\pmat{1 &0 &0\\0& 0& 1\\0& 2& 0} c)\pmat{0 &0 &-1\\0& 1& 0\\1 &0&0} [/mm] |
Eine ziemlich doofe Frage wohl ... was ist die "allgemeine Normalform" und wie berechne ich sie?
Gruß Zerwas
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Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Vielleicht hilft dir das weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
also ist die allgemeine normalform die jordansche??? ...dann wäre die aufgabe klar ... ich wusste nur mit dem begriff nichts anzufangen
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> also ist die allgemeine normalform die jordansche???
Hallo,
nein, das ist nicht der Fall.
Die JNF kann man ja nur aufstellen für solche Matrizen, deren Charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also für Matrizen die trigonalisierbar sind.
Die Dir gegebenen Matrizen zerfallen nicht alle über jedem der angegebenen Körper.
> ...dann wäre die aufgabe klar ... ich wusste nur mit dem
> begriff nichts anzufangen
Tja, nun drängt sich die Frage förmlich auf, was denn dann die allgemeine Normalform ist.
Ich kenne den Begriff nicht, aber ich nehme stark an, daß sich dahinter die Sache mit der Primärzerlegung von V in invariante Unterräume, welche jeweils der Kern des entsprechenden Faktors der Primzerlegung des Minimalpolynoms sind, verbirgt. Man bekommt da auch eine Diagonalkästchenmatrix, welche aber nicht so "schön" ist wie bei der JNF.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:08 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
äähhmm ja okay .... oder auch nicht .... primarzerlegung??? was ist das und wie funktioniert es?
und wie bekomme ich da dann eine Diagonalmatrix? :-[
Gruß Zerwas
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> äähhmm ja okay .... oder auch nicht .... primarzerlegung???
> was ist das und wie funktioniert es?
>
> und wie bekomme ich da dann eine Diagonalmatrix? :-[
Hmm.
Ich will ja jetzt nicht ein Buch abschreiben...
Womit diese Zerlegung zusammenhängt, mit den Primfaktoren des Minimalpolynoms, hatte ich ja schon geschrieben.
Hattet Ihr denn sowas? Paßt mein Hinweis zu dem, was Ihr gemacht habt?
Was kam denn in Deiner Vorlesung vor bzgl. allg. Normalform?
Ich helfe Dir prinzipiell gerne weiter, so gut ich kann.
Aber ich habe den Eindruck, daß Du jetzt erstmal in Vorlesungsmitschrift, Skript, Buch gucken mußt, ob mein Hinweis überhaupt paßt. Wenn ja, solltest Du Dich schonmal ansatzweise informieren.
Gruß v. Angela
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Wenn du mal hier schaust - man kann in [mm]\IR[/mm] auch eine Normalform definieren, wenn das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt. Vermutlich geht sowas auch in [mm]\IQ[/mm]...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:04 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Die Aufgabe ist von einem Übungzettel zur Klausur LAII von meinem Prof also sollten wir das eigentlich gehabt haben ...
Was ich weiß ist:
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom [mm] m(\lambda) [/mm] ein Produkt verschiedener linearer Polynome ist.
Aber zu einer diagonalform habe ich nichts gefunden ...
wenn ich einfach mal mit der matrix [mm] \pmat{1& 0& 1\\0 &1 &0\\0 &0 &1} [/mm] anfange und deren charakteristisches polynom ermittle erhalte ich:
[mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 3\lambda^2 [/mm] + [mm] 3\lambda [/mm] - 1
[mm] \Rightarrow \lambda_{1,2,3}=1
[/mm]
Also zerfällt das charakteristische Polynom: [mm] (\lambda-1) (\lambda-1)(\lambda-1)
[/mm]
Und ich kann die Jordannormalform bilden: [mm] J=\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0& 0 & 1} [/mm] , da der Eigenraum zu [mm] \lambda [/mm] dim=2 besitzt
Dann weiter mit [mm] \pmat{1 &0 &0\\0& 0& 1\\0& 2& 0}:
[/mm]
Charakteristisches Polynom: [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] + 2
[mm] \Rightarrow \lambda_1=1 \Rightarrow [/mm] Poldiv [mm] \Rightarrow \lambda_2=\wurzel{2}, \lambda_3=-\wurzel{2}
[/mm]
Dann kann ich wieder die Jordannormalform aufstellen:
[mm] J=\pmat{-\wurzel{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel {2}}
[/mm]
Bei [mm] \pmat{0 &0 &-1\\0& 1& 0\\1 &0&0} [/mm] stoße ich jetzt auf ein Problem:
Charakt. Pol: [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - 1
[mm] \Rightarrow \lambda_1=1 \Rightarrow [/mm] Poldiv:
[mm] (\lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - 1) : [mm] (\lambda-1) [/mm] = [mm] \lambda^2+1
[/mm]
Wenn ich jetzt so arbeite wie hier angegeben erhalte ich dann:
[mm] \lambda_2=0+1i, \lambda_3=0-1i [/mm]
und damit erhalte ich die matrix [mm] T=\pmat{0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
stimmt das dann so?
Überprüfen können müsste ich ja eigentlich indem ich eine Matrix Q finde für die [mm] T=QTQ^{-1} [/mm] ...aber wie sieht Q aus
Gruß Zerwas
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> Die Aufgabe ist von einem Übungzettel zur Klausur LAII von
> meinem Prof also sollten wir das eigentlich gehabt haben
> ...
Hallo,
allerdings ist die Frage, was sich hinter "das" verbirgt, immer noch ungeklärt.
Ich hätte neben meiner Primärzerlegung und generation...xs reeller JNF noch die Frobeniusnormalform ins Spiel zu bringen. Auch sie hat mit dem Zerfallen in invariante Unterräume zu tun. Vielleicht ist's das? Weil - solange wir nicht wissen, was Du tun sollst, ist die Sache etwas schwierig...
> Dann weiter mit [mm]\pmat{1 &0 &0\\0& 0& 1\\0& 2& 0}:[/mm]
>
> Charakteristisches Polynom: [mm]\lambda^3[/mm] - [mm]\lambda^2[/mm] -
> [mm]2\lambda[/mm] + 2
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=1 \Rightarrow[/mm] Poldiv [mm]\Rightarrow \lambda_2=\wurzel{2}, \lambda_3=-\wurzel{2}[/mm]
>
> Dann kann ich wieder die Jordannormalform aufstellen:
> [mm]J=\pmat{-\wurzel{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel {2}}[/mm]
Hier hast Du ein Problem, und das dürfte der kasus knacktus der Aufgabe sein. Deine JNF ist [mm] \in \IR^{2x2}, [/mm] aber nicht [mm] \in \IQ^{2x2}, [/mm] und die solltest ja die Normalformen über [mm] \IC, \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] bestimmen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay also ich habe mich jetzt mal richtig schaul gemacht:
Wir verstehen unter allgemeiner Normalform die reelle Jordanform .... d.h. dass die Matrix mit den EW [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] nicht in eine Normalfarm überführt werden kann wenn man sie als [mm] \in\IQ_{2x2} [/mm] ansieht. Ansonsten stimmt das mit der reellen Jordannform.
Vielen Dank für die Mühen ob meiner Unwissendheit.
Gruß Zerwas
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Unter http://home.in.tum.de/~mendl/studies/ANF/ANF.pdf ist die Allgemeine Normalform ziemlich ausführlich erklärt; über C ist die Allgemeine Normalform immer die Jordansche, weil C algebraisch abgeschlossen ist, d.h. man kann das charakteristische Polynom auf jeden Fall zerlegen. Beispiel:
[mm]X^2 + 1[/mm] ist irreduzibel in R, aber [mm]X^2 + 1 = (X-i)(X+i)[/mm] zerfällt in C.
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