allgemeine Lösung finden. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich hab mir als Beispiel eine Aufgabe genommen bei der folgende erweiterte Koeffizientenmatrix gegebn ist:
[mm] $\pmat{ 1 & -1&1&2&|&1 \\ 2 & -3&0&1&|&-1\\3&-4&1&3&|&0\\1&-2&-1&-1&|&-2 }$
[/mm]
nach dem Umformen komme ich auf:
[mm] $\pmat{ 1 & 0&3&5&|&4 \\0 & 1&2&3&|&3\\0&0&0&0&|&0\\0&0&0&0&|&0 }$
[/mm]
Ich soll hier die allgemeine Lösung des Systems angeben.
Der "Stützvektor" ist ja einfach [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 0\\0} [/mm] oder?
aber wie genau berechnet man die "Richtungsvektoren" nun?
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Hallo ralfr,
> Hallo ich hab mir als Beispiel eine Aufgabe genommen bei
> der folgende erweiterte Koeffizientenmatrix gegebn ist:
> [mm]\pmat{ 1 & -1&1&2&|&1 \\ 2 & -3&0&1&|&-1\\3&-4&1&3&|&0\\1&-2&-1&-1&|&-2 }[/mm]
>
> nach dem Umformen komme ich auf:
> [mm]\pmat{ 1 & 0&3&5&|&4 \\0 & 1&2&3&|&3\\0&0&0&0&|&0\\0&0&0&0&|&0 }[/mm]
>
> Ich soll hier die allgemeine Lösung des Systems angeben.
> Der "Stützvektor" ist ja einfach [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ 0\\0}[/mm]
> oder?
Ja.
> aber wie genau berechnet man die "Richtungsvektoren" nun?
Fülle die Diagonale mit (-1)en auf.
Dann ergeben sich die Richtungsvektoren
als negatives der 3. bzw. 4. Spalte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Dann wären also die Vektoren:
[mm] $\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}$
[/mm]
und
[mm] $\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}$?
[/mm]
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Hallo ralfr,
> Dann wären also die Vektoren:
> [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> und
> [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
Nicht ganz:
[mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
[mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
>
> > Dann wären also die Vektoren:
> > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> > und
> > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
>
>
> Nicht ganz:
>
> [mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
>
>
Achso dankeschön für die schnelle hilfe.
Und orthonormiert sind die Richtungsvektoren dann:
[mm] $v_1=\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}$
[/mm]
oder?
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Hallo ralfr,
> > Hallo ralfr,
> >
> > > Dann wären also die Vektoren:
> > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> > > und
> > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
> >
> >
> > Nicht ganz:
> >
> > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
> >
> > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
> >
> >
> Achso dankeschön für die schnelle hilfe.
> Und orthonormiert sind die Richtungsvektoren dann:
> [mm]v_1=\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}[/mm]
>
Dieser Vektor stimmt nicht.
> oder?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
>
> > > Hallo ralfr,
> > >
> > > > Dann wären also die Vektoren:
> > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> > > > und
> > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
> > >
> > >
> > > Nicht ganz:
> > >
> > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
> > >
> > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
> > >
> > >
> > Achso dankeschön für die schnelle hilfe.
> > Und orthonormiert sind die Richtungsvektoren dann:
> > [mm]v_1=\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
> >
>
>
>
>
>
> > [mm]v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}[/mm]
> >
>
>
hm ich habe so gerechnet:
[mm] $v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 }- (\frac{21}{\sqrt{14}}) \cdot{} \frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 } [/mm] - [mm] \vektor{-\frac{9}{2} \\ -3\\\frac{3}{2}\\ 0 }=\vektor{-0,5 \\ 0\\-\frac{3}{2}\\ 1 }$
[/mm]
> Dieser Vektor stimmt nicht.
>
>
> > oder?
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo ralfr,
> > Hallo ralfr,
> >
> > > > Hallo ralfr,
> > > >
> > > > > Dann wären also die Vektoren:
> > > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> > > > > und
> > > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
> > > >
> > > >
> > > > Nicht ganz:
> > > >
> > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
> > > >
> > > >
> > > Achso dankeschön für die schnelle hilfe.
> > > Und orthonormiert sind die Richtungsvektoren dann:
> > > [mm]v_1=\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > > [mm]v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> hm ich habe so gerechnet:
> [mm]v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 }- (\frac{21}{\sqrt{14}}) \cdot{} \frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 } - \vektor{-\frac{9}{2} \\ -3\\\frac{3}{2}\\ 0 }=\vektor{-0,5 \\ 0\\-\frac{3}{2}\\ 1 }[/mm]
>
Ok.
> > Dieser Vektor stimmt nicht.
> >
> >
> > > oder?
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
>
> > > Hallo ralfr,
> > >
> > > > > Hallo ralfr,
> > > > >
> > > > > > Dann wären also die Vektoren:
> > > > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> > > > > >
> und
> > > > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Nicht ganz:
> > > > >
> > > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > Achso dankeschön für die schnelle hilfe.
> > > > Und orthonormiert sind die Richtungsvektoren
> dann:
> > > > [mm]v_1=\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
>
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > [mm]v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}[/mm]
>
> > >
> > >
> > >
> > >
> > hm ich habe so gerechnet:
> > [mm]v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 }- (\frac{21}{\sqrt{14}}) \cdot{} \frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
>
> >
> > [mm]v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 } - \vektor{-\frac{9}{2} \\ -3\\\frac{3}{2}\\ 0 }=\vektor{-0,5 \\ 0\\-\frac{3}{2}\\ 1 }[/mm]
>
> >
>
>
> Ok.
Jetzt bin ich etwas verwirrt.
Also ist mein orthonormierter 2. Vektor richtig gewesen?
[mm] $v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}$
[/mm]
>
>
> > > Dieser Vektor stimmt nicht.
> > >
> > >
> > > > oder?
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo ralfr,
> > Hallo ralfr,
> >
> > > > Hallo ralfr,
> > > >
> > > > > > Hallo ralfr,
> > > > > >
> > > > > > > Dann wären also die Vektoren:
> > > > > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\0\\0}[/mm]
> > > > > >
> >
> > und
> > > > > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\0}[/mm]?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Nicht ganz:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\vektor{-3 \\ -2\\ \blue{1}\\0}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]\vektor{-5 \\ -3\\0\\ \blue{1} }[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > Achso dankeschön für die schnelle hilfe.
> > > > > Und orthonormiert sind die Richtungsvektoren
> > dann:
> > > > > [mm]v_1=\frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > >
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> > > >
> > > >
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> > > >
> > > > > [mm]v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}[/mm]
>
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> > > >
> > > hm ich habe so gerechnet:
> > > [mm]v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 }- (\frac{21}{\sqrt{14}}) \cdot{} \frac{1}{\sqrt{14}} \vektor{-3 \\ -2\\1\\0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]v_2=\vektor{-5 \\ -3\\0\\ 1 } - \vektor{-\frac{9}{2} \\ -3\\\frac{3}{2}\\ 0 }=\vektor{-0,5 \\ 0\\-\frac{3}{2}\\ 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Ok.
>
> Jetzt bin ich etwas verwirrt.
> Also ist mein orthonormierter 2. Vektor richtig gewesen?
> [mm]v_2=\frac{1}{\sqrt{3,5}} \vektor{-0,5 \\ 0\\-3/2\\1}[/mm]
Ja.
> >
> >
> > > > Dieser Vektor stimmt nicht.
> > > >
> > > >
> > > > > oder?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
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> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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