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| Aufgabe | | Bestimmen sie die allgemeine Lösung von [mm] \vektor{x'\\y'}= \pmat{ -3 & -1 \\ 1 & -1 }\vektor{x \\ y}+ \vektor{t \\t^2} [/mm] |
Hallo zusammen,
bräuchte bei der Aufgabe Hilfe denn komme nicht weiter:
hab zuerst das homogene System betrachtet
[mm] \vektor{x'\\y'}= \pmat{ -3 & -1 \\ 1 & -1 }\vektor{x \\ y}
[/mm]
x'= -3x -y
y'=x-y
y'=x-y
homogene gleichung
y'=-y
[mm] y=e^{-x}*c
[/mm]
[mm] y'=-e^{-x}*c +e^{-x}*c'
[/mm]
[mm] ->y=e^x(x-1)
[/mm]
jetzt hätte ich y in x' eingesetzt
x'=-3x [mm] -e^x(x-1)
[/mm]
aber ich glaube nicht, dass das so richtig ist oder?
wäre super wenn mir jemand paar tipps geben könnte!
gruß,
kekschen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Mo 07.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
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> hab zuerst das homogene System betrachtet
> [mm]\vektor{x'\\y'}= \pmat{ -3 & -1 \\ 1 & -1 }\vektor{x \\ y}[/mm]
Ja, das kann man so machen.
>
> x'= -3x -y
> y'=x-y
>
> y'=x-y
> homogene gleichung
Schwachsinn! Es ist y := y(t) und x := x(t) [und nicht y:=y(x)]. Du hast ein verkettetes DGL-System vor die liegen. Entweder Matrix Transformieren bzw. Diagonalisieren, in der neuen Basis lösen und zurücktransformieren.
Oder versuchen die Gleichungen ineinander einzusetzen und hoffen eine DGL 2. Ordnung zu erhalten.
> y'=-y
> [mm]y=e^{-x}*c[/mm]
> [mm]y'=-e^{-x}*c +e^{-x}*c'[/mm]
>
> [mm]->y=e^x(x-1)[/mm]
>
> jetzt hätte ich y in x' eingesetzt
>
> x'=-3x [mm]-e^x(x-1)[/mm]
> aber ich glaube nicht, dass das so richtig ist oder?
> wäre super wenn mir jemand paar tipps geben könnte!
>
Nacht.
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Danke schonmal für die Antwort...
hab solche DGL-Systeme nur leider noch nie gelöst also fehlt mir die praxis..
hab jetzt nochmal versucht die homogene Lösung zu finden und hab so angefangen
[mm] \vektor{x'\\y'}= \pmat{ -3 & -1 \\ 1 & -1 }\vektor{x \\ y}
[/mm]
y'(t)=-3x(t)-y(t)
homogene gleichung
y'(t)=-y(t)
y(t)=exp(-t)*c
y'(t)=-exp(-t)*c+exp(-t)*c'
eingesetzt
-exp(-t)*c+exp(-t)*c'=-3x(t)-exp(-t)*c
c'(t)=-3x(t)exp(t)
c(t)=-3x(t)exp(t) weil ja nach t integriert wird..
y(t)=-3x(t)
das gleiche hab ich jetzt auch noch für x'(t)=-3x(t)-y(t) gemacht und hab
[mm] x(t)=-\bruch{1}{3}y(t) [/mm] erhalten
aber bringt mich das jetzt überhaupt weiter?
gruß,
kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> Danke schonmal für die Antwort...
> hab solche DGL-Systeme nur leider noch nie gelöst also
> fehlt mir die praxis..
>
> hab jetzt nochmal versucht die homogene Lösung zu finden
> und hab so angefangen
>
> [mm]\vektor{x'\\y'}= \pmat{ -3 & -1 \\ 1 & -1 }\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> y'(t)=-3x(t)-y(t)
> homogene gleichung
> y'(t)=-y(t)
> y(t)=exp(-t)*c
> y'(t)=-exp(-t)*c+exp(-t)*c'
Das ist nicht richtig.
>
> eingesetzt
> -exp(-t)*c+exp(-t)*c'=-3x(t)-exp(-t)*c
> c'(t)=-3x(t)exp(t)
> c(t)=-3x(t)exp(t) weil ja nach t integriert wird..
>
> y(t)=-3x(t)
>
> das gleiche hab ich jetzt auch noch für x'(t)=-3x(t)-y(t)
> gemacht und hab
> [mm]x(t)=-\bruch{1}{3}y(t)[/mm] erhalten
>
> aber bringt mich das jetzt überhaupt weiter?
Du kannst z.B so vorgehen:
Löse die Gleichung
[mm]x'\left(t\right)=-3*x\left(t\right)-y\left(t\right)[/mm]
nach y(t) auf, und setze dies in
[mm]y'\left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)[/mm]
ein. Dann erhältst Du eine skalare DGL 2. Ordnung.
>
> gruß,
> kekschen
Gruss
MathePower
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oh danke
hab das jetzt mal angefangen:
[mm] x'\left(t\right)=-3\cdot{}x\left(t\right)-y\left(t\right) [/mm] nach y(t) aufgelöst ist
y(t)=-3x(t)-x'(t)
y'(t)=-3x'(t)-x''(t)
in y'(t)=x(t)-y(t) eingesetzt
-> -3x'(t)-x''(t)=4x(t)+x'(t)
x''(t)+4x'(t)+4x(t)=0
[mm] \lambda^2+4\lambda+4=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] =-2
homogene lösung
[mm] y_h=c1*exp(-2t)+c_2exp(-2t)
[/mm]
[mm] \vektor{exp(-2t)\\ exp(-2t)}* \vektor{c_1\\c_2}
[/mm]
ist das so jetzt richtig?
danke schonmal!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Di 08.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch nur x(t) bestimmt. und das nicht richtig, Wenn du 2 gleiche Lösungen für [mm] \lambda [/mm] hat, ist eine zweite lösung [mm] t*e^{2x}
[/mm]
habt ihr die lösung von systemen von dgl nicht besprochen?
Dann mach es lieber nach der Methode der Vorlesung, obwohl natürlich das umformen in eine dgl 2 ter ordnung nicht falsch ist. nach x(t) musst du dann noch y(t) bestimmen, erst dann hast du nen lösungsvektor der homogenen Dgl-
Gruss leduart.
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wenn ich jetzt die zweite gleichung y'(t)=x(t)-y(t) nach x(t) auflöse und das einmal ableite und beides in die erste gleichung einsetze dann bekomme ich für y(t) so wie für x(t) heraus
[mm] y(t)=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}
[/mm]
heißt das, dass der lösungsvektor jetzt wegen x(t)=y(t)
[mm] \vektor{e^{-2t}\\te^{-2t}} [/mm] ist?
gruß,
kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> wenn ich jetzt die zweite gleichung y'(t)=x(t)-y(t) nach
> x(t) auflöse und das einmal ableite und beides in die
> erste gleichung einsetze dann bekomme ich für y(t) so wie
> für x(t) heraus
> [mm]y(t)=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}[/mm]
>
> heißt das, dass der lösungsvektor jetzt wegen x(t)=y(t)
> [mm]\vektor{e^{-2t}\\te^{-2t}}[/mm] ist?
Nein.
Du mußt jetzt noch x(t) bestimmen.
Dann baust Du x(t), y(t) die zusammen
und erhältst die Lösung des DGL-Systems.
>
> gruß,
> kekschen
Gruss
MathePower
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ähm okay danke schonmal für die antwort...
aber ich versteh das noch nicht so recht!
hab das zuerst doch für x(t) gemacht und hab da rausbekommen
[mm] x(t)=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}
[/mm]
und dann hab ich versucht y(t) zubestimmen und hab auch für y(t) raus
y(t)= [mm] c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}
[/mm]
deshalb dachte ich, dass man das so zusammenpacken kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mi 09.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nachdem du x(t) hast findest du doch y(t) aus y(t)=-3x(t)-x'(t)
ich seh nicht ganz, was du gemacht hast.
dazu nochmal die Frage: habt ihr nicht die Methode Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmen gemacht, dann solltest du die verwenden. kommentier doch so ne Frage wenigstens.
Gruss leduart
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Hab die Frage wohl überlesen, tut mir leid!
hatten das nur kurz angesprochen aber nicht wirklich weiter verfolgt!
hab den ansatz jetzt aber mal mittels EV und EW der Matrix gemacht...
[mm] det(A-\lambda E_2)= [/mm] -2 [mm] \pm [/mm] 0
[mm] \lambda_{1,2}=-2
[/mm]
EV bestimmen
[mm] (A+2E_2)= \pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
--> [mm] EV_1= \vektor{1\\-1}
[/mm]
jetzt brauch ich ja noch einen zweiten linear unabhängig EV, da der EW -2 doppelt ist, also hab ich mir einen generalisiert
[mm] (A+2E_2)^2= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] EV_2 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0}
[/mm]
also bekomm ich als lösung des homogenen systems
[mm] \vektor{x(t)\\y(t)}= c_1*e^{-2t}\vektor{1\\-1}+c_2te^{-2t}\vektor{1\\0}
[/mm]
ist dieser ansatz schonmal richtig?
gruß..
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Hallo Kampfkekschen,
> Hab die Frage wohl überlesen, tut mir leid!
> hatten das nur kurz angesprochen aber nicht wirklich
> weiter verfolgt!
>
> hab den ansatz jetzt aber mal mittels EV und EW der Matrix
> gemacht...
>
> [mm]det(A-\lambda E_2)=[/mm] -2 [mm]\pm[/mm] 0
> [mm]\lambda_{1,2}=-2[/mm]
> EV bestimmen
>
> [mm](A+2E_2)= \pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & -1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> --> [mm]EV_1= \vektor{1\\-1}[/mm]
> jetzt brauch ich ja noch einen
> zweiten linear unabhängig EV, da der EW -2 doppelt ist,
> also hab ich mir einen generalisiert
> [mm](A+2E_2)^2= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> [mm]EV_2[/mm] = [mm]\vektor{1\\0}[/mm]
>
> also bekomm ich als lösung des homogenen systems
>
> [mm]\vektor{x(t)\\y(t)}= c_1*e^{-2t}\vektor{1\\-1}+c_2te^{-2t}\vektor{1\\0}[/mm]
Diese Lösung löst leider nicht das homogene DGL-System.
Ok, eine Lösung des DGL-Systems hast Du schon berechnet:
[mm]\pmat{1 \\ -1}*e^{-2*t}[/mm]
Eine zweite linear unabhängige Lösung ergibt sich aus dem Ansatz
[mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{-2*t}[/mm]
Mit diesem Ansatz gehst Du in das homogene DGL-System,
und bestimmst so die Vektoren [mm]\vec{a}, \ \vec{b}[/mm].
>
> ist dieser ansatz schonmal richtig?
>
> gruß..
Gruss
MathePower
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danke nochmals für die Antwort...
ist mein [mm] \left(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}\right)\cdot{}e^{-2\cdot{}t} [/mm] in diesem fall dann nicht
[mm] c_2[ \vektor{1\\0}e^{-2t}+ \vektor{1\\-1}te^{-2t}]
[/mm]
?
gruß...
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Hallo Kampfkekschen,
> danke nochmals für die Antwort...
>
> ist mein
> [mm]\left(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}\right)\cdot{}e^{-2\cdot{}t}[/mm]
> in diesem fall dann nicht
> [mm]c_2[ \vektor{1\\0}e^{-2t}+ \vektor{1\\-1}te^{-2t}][/mm]
> ?
Hier hat sich ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen.
[mm]c_2[ \vektor{\blue{-}1\\0}e^{-2t}+ \vektor{1\\-1}te^{-2t}][/mm]
>
> gruß...
Gruss
MathePower
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