allgemeine Fragen: Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wir haben mit dem Thema Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen angefangen, ich werde jedoch aus Skript und Buch an manchen Stellen noch nicht wirklich schlau.
Wir haben gesagt, dass es für die partiellen Ableitungen ebenfalls eine Kettenregel gibt.
Wir haben dann einmal die "gewöhnliche" Methode kennengelernt, wobei ich hierbei nicht ganz verstehe, warum hier einmal die partiellen Ableitungen und dann noch Ableitungen von Funktionen namens phi abgeleitet werden, die für jede Variable offenbar gegeben werden?
zB
[mm] R^3 [/mm] -> R mit [mm] f(x_1, x_2, x_3)=x_1*e^{x_2*x_3^2}
[/mm]
und [mm] phi_1(t):(0,unendlich) [/mm] Element t -> ln t Element R, [mm] phi_2(t):R [/mm] Element t -> [mm] t^2 [/mm] Element R, [mm] phi_3(t):R [/mm] Element t -> [mm] e^t [/mm] Element R
Das sei gegeben. Nun werden die 3 partiellen Ableitungen berechnet und dann die ABleitungen der phi-Funktionen und nach Kettenregel ist die Ableitung [mm] F=fo(phi_1,...,phi_n)
[/mm]
Ich verstehe aber nicht, was das hier mit dem phi auf sich hat. Muss das gegeben sein? Warum? Ich verstehe das nicht.
Das geht wohl nach dem Prinzip, das am Anfang erklärt wurde:
[mm] F=fo(phi_1,...,phi_n) [/mm] mit [mm] F(t)=f(phi_1(t),... phi_n(t)) [/mm] Aber ich verstehe kein Wort was hier gemacht wird. Wieso steht hier überhaupt groß F, ich dachte groß F wäre das Integral und keine Ableitung.
---
Dann aber haben wir noch eine "einfachere(?)" Methode kennengelernt mit einer Ableitungsmatrix. (Angeblich eine Verallgemeinerung) Was ist denn hier das Prinzip?
Es sei [mm] \underline{g}:R^n [/mm] -> [mm] R^m [/mm] eine Funktion geschrieben als [mm] \underline{g}(x)=(g_1(x),..., g_m(x))
[/mm]
Die Ableitungmatrix von [mm] \underline{g} [/mm] ist
[mm] \bruch{d\underline{g}}{d(x_1,...,x_n)}=\bruch{\partial g_i}{\partial x_j}_{ij}
[/mm]
D.h. Nabla [mm] g_i [/mm] ist der i-te Zeilenvektor von [mm] \bruch{d\underline{g}}{d(x_1,...,x_n)}=\bruch{\partial g_i}{\partial x_j} [/mm] und [mm] fo\underline{g} [/mm] muss definiert sein.
Beispiel:
[mm] \underline{g}(u,v)=(u^2, [/mm] u*v, [mm] v^2) [/mm] und die Funktion [mm] f(x,y,z)=x*z-y^2 [/mm] sind gegeben.
Also sei Nabla f=(z, -2*y, x)
Dann wird eine Ableitungsmatrix aufgestellt
2u 0
v u
0 2v
und mit dem Ausdruck [mm] (v^2, [/mm] -2uv, [mm] u^2) [/mm] multipliziert, da [mm] Nablaf(g(u,v))o\underline{g}
[/mm]
Ich verstehe nicht, was jetzt hier anders, besser sein soll? Warum habe ich nun 2 Methoden, welche wende ich in der Regel an?
---
Was ist dahingehend der Unterschied bei Richtungableitungen? Hierwird offenbar noch eine Stelle angegeben, aber was ist nun der Unterschied? Worauf muss ich achten?
[mm] \bruch{\partial f}{\partial r}(x)= [/mm] Summe [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_j}(x)*r_j
[/mm]
Mit Hilfe das Skalarprodukts (???) kann man auch schreiben [mm] \bruch{\partial f}{\partial r}(x)= [/mm] <Nabla f(x),r > mit [mm] r=(r_1,...,r_n), [/mm] dabei ist für 2 Zeilenvektoren [mm] \underline{a}=(a_1,...,a_n) [/mm] und [mm] \underline{b}=(b_1,...,b_n):<\underline{a}, \underline{b}>=Summe a_j*b_j=\underline{a}, \underline{b}^t
[/mm]
Offenbar wird hier zu der Funktion nicht je nachdem, wie viele Variablen ich habe noch jeweils eine Richtung r angegeben, zb
[mm] f(x,y)=6-3x^2-y^2 [/mm] und [mm] r=(1/\wurzel{2}, -1/\wurzel{2})
[/mm]
Zu berechnen ist die Richtungsableitung von f an der Stelle (1,2) [wird mir das gegeben?!]
Und was muss ich nun tun?
---
Ich verstehe nichts mehr :( Kann jemand helfen? Ich komme aus dem Buchstabenchaos nicht heraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:34 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> Hallo,
>
> wir haben mit dem Thema Differentialrechnung für Funktionen
> mehrerer Variablen angefangen, ich werde jedoch aus Skript
> und Buch an manchen Stellen noch nicht wirklich schlau.
kannst Du Skript und/oder Buch verlinken? Oder wenigstens eine genauere Literaturangabe zum Buch geben (Name, Autor, Erscheinungsjahr etc.)?
> Wir haben gesagt, dass es für die partiellen Ableitungen
> ebenfalls eine Kettenregel gibt. Wir haben dann einmal die
> "gewöhnliche" Methode kennengelernt, wobei ich hierbei
> nicht ganz verstehe, warum hier einmal die partiellen
> Ableitungen und dann noch Ableitungen von Funktionen namens
> phi abgeleitet werden, die für jede Variable offenbar
> gegeben werden?
>
> zB [mm]f(x,y,z\red{)}=x*e^{y*z^2}[/mm] undt->ln t , [mm]t->t^2, t->e^t[/mm] sind
> gegeben.
Und was genau wurde da nun bei Euch gemacht? Ich erkenne nicht, worauf Du hinaus willst. (Vor allem weiß ich nicht, wieso da $t [mm] \mapsto \ln(t)$ [/mm] erwähnt wird?!)
> Dann aber haben wir noch eine "einfachere(?)" Methode
> kennengelernt mit einer Ableitungsmatrix. Was ist den her
> das Prinzip?
Auch das solltest Du präzisieren. Das klappt sicher auch nicht immer, unabhängig davon, dass mir auch hier nicht klar ist, was Du meinst. Oder geht es prinzipiell nur um die Jacobimatrix?
> Beispiel:
> [mm]\underline{g}(u,v)=(u^2,[/mm] u*v, [mm]v^2)[/mm] und die Funktion
> [mm]f(x,y,z)=x*z-y^2[/mm] sind gegeben.
>
> Also sei [mm]\Delta[/mm] f=(z, -2*y, x)
>
> Dann wird eine Ableitungsmatrix aufgestellt und mit dem
> Ausdruck [mm](v^2,[/mm] -2uv, [mm]u^2)[/mm] multipliziert.
>
> Was ist dahingehend der Unterschied bei
> Richtungableitungen? Hierwird offenbahr noch eine Stelle
> angegeben, aber was ist nun der Unterschied? Worauf muss
> ich achten?
>
> Ich verstehe nichts mehr :( Kann jemand helfen? Ich komme
> aus dem Buchstabenchaos nicht heraus.
Also [mm] $\Delta [/mm] f$ scheint mir einfach der Gradient von $f$ zu sein (beachte dabei, dass $f: [mm] \IR^3 \to \IR$). [/mm] Deine "einfachere" Methode könnte irgendwie was mit dem Taylorsatz zu tun haben (das ist jetzt mehr oder weniger blind geraten; ich bin nämlich etwas zu müde, um das nochmal genauer zu durchdenken, daher auch nur eine Mitteilung).
Tipp:
Vll. arbeitest Du ja mal Kapitel 19 und 20 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript durch. Und Heuser ist eigentlich, m.E., auch immer als Nachschlagewerk zu empfehlen 
P.S.:
Edit: Jetzt weiß ich auch wieder, wieso ich da automatisch an den Taylorsatz gedacht hatte. Schau einfach mal direkt in den Anfang von Kapitel 20, das ist so ähnlich. Nur ist oben leider nicht $g$ auf [mm] $\IR$, [/mm] sondern auf [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert.
Aber:
Oben ist ja [mm] $(\star) \Delta [/mm] f(x,y,z)=(z, [mm] -2y,x)\,,$ [/mm] und damit [mm] $((\Delta [/mm] f) [mm] \circ g)(u,v)=\Delta f(g(u,v))=\Delta f(\underbrace{u^2}_{\hat{=}x}, \underbrace{u*v}_{\hat{=}y}, \underbrace{v^2}_{\hat{=}z})\underset{(\star)}{=}(v^2,-2\;u*v,u^2)\,.$
[/mm]
D.h. für Deine obigen Funktionen ist [mm] $(v^2,-2\;u*v,u^2)=((\Delta [/mm] f) [mm] \circ [/mm] g)(u,v)$. Und nach der Kettenregel wird da noch etwas dranmultipliziert (wenn man $f [mm] \circ [/mm] g$ ableiten will!), das findest Du sicher selbst heraus.
Jedenfalls: Da geht es offenbar nur um eine Anwendung der Kettenregel in einem speziellen Fall (wohl in dem Fall, dass die äußere Funktion nach [mm] $\IR$ [/mm] abbildet).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Do 15.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich habe meinen Beitrag abgeändert. Ich hoffe es wird jetzt klarer.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 17.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:36 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
ich habe gerade ein riesiges Problem mit der Kettenregel bei mehreren Veränderlichen.
Wir haben 2 Regeln kennengelernt, aber ich weiß nicht, welche die gängige ist, die auch in der Regel zum Ziel führt; vor allem bin ich unsicher, wie ich dabei vorgehe.
Ich habe schon einmal ein (zugegeben langes) Posting dazu geschrieben, vielleicht seht ihr ja da, welche Regeln wir kennengelernt haben. Mir scheint aber, dass die Regel mit Hilfe einer Ableitungsmtarix eher kompliziert ist und nicht wirklich der gängige Weg ist, oder?
(https://www.vorhilfe.de/read?i=499701)
edit (reverend): der Link führt genau in diesen Thread, an den die Anfrage jetzt angehängt ist.
Ich danke euch!
|
|
|
| |
|
Vo allem: Warum kann ich g und f nicht einfach verknüpfen und ableiten?
zB
[mm] f(x,y,z)=x*z-y^2
[/mm]
[mm] g(u,v)=u^2,uv,v^2
[/mm]
Ich kann doch g in f einsetzen und habe
[mm] u^2*v^2-(uv)^2 [/mm] = f verknüpft mit g
Wieso wird in den beiden Beispielen immer abgeleitet? Ich verstehe die Prinzipien nicht. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> Vo allem: Warum kann ich g und f nicht einfach verknüpfen
> und ableiten?
>
> zB
>
> [mm]f(x,y,z)=x*z-y^2[/mm]
> [mm]g(u,v)=u^2,uv,v^2[/mm]
wo sind die Klammern? [mm] $g(u,v)=\red{(}u^2,uv,v^2\red{)}\,.$
[/mm]
Was manchmal leider die Leute verwirrt, weil es nirgends geklärt ist:
Für eine Funktion $f: M [mm] \subset \IR^n \to [/mm] Y$ schreibt man für [mm] $x=(x_1,...,x_n)^T \in M\;\;(\subset \IR^n)$ [/mm] anstelle von
[mm] $$f(x)=f((x_1,...,x_n)^T)=f(\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n})$$
[/mm]
meist
[mm] $$f((x_1,...,x_n))=f(x^T):=f(x)\,, \text{ bzw. kürzer} f(x_1,...,x_n):=f(x)\,.$$
[/mm]
Du kannst oben nicht einfach Klammern weglassen, sowas macht beim Argument Sinn, wenn die Klammern sonst doppelt wären. Das ist mehr oder weniger eine Vereinbarung, die dazu dient, unnötige Klammern zu ersparen.
> Ich kann doch g in f einsetzen und habe
>
> [mm]u^2*v^2-(uv)^2[/mm] = f verknüpft mit g
>
> Wieso wird in den beiden Beispielen immer abgeleitet? Ich
> verstehe die Prinzipien nicht. :(
Du sollst ja nicht einfach die Verknüpfung ableiten, sondern lernen, die Kettenregel anzuwenden bzw. sie an den Beispielen einmal bestätigt sehen (d.h. nicht, anhand von Beispielen beweisen, sondern nur, anhand der Beispiele nachrechnen, dass die Ableitungsberechnungen, einmal mit und einmal ohne Kettenregel, das gleiche Ergebnis liefern). Abgesehen davon, dass die Kettenregel auch manchmal theoretische Ergebnisse (relativ schnell oder elegant) liefert, hat sie auch einen praktischen Zweck, nämlich nicht unnötig kompliziert zu rechnen.
Betrachtest Du die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Funktion $x [mm] \mapsto (x^2+1)^{27}\,,$ [/mm] so kann man diese Funktion auch, mit dem binomischen Lehrsatz, anders darstellen und ableiten. Diese Rechnung funktioniert auch, ist aber umständlich.
Wenn Du aber obige Funktion als Verknüpfung der Funktionen $y [mm] \mapsto y^{27}$ [/mm] und $x [mm] \mapsto y(x)=x^2+1$ [/mm] darstellst, ist die Ableitung von $x [mm] \mapsto (x^2+1)^{27}$ [/mm] rechnerisch ein Klacks. Ähnliches findest Du auch im mehrdimensionalen.
Zudem gibt es ja auch schon im Eindimensionalen Funktionen, wo man ohne die Kettenregel vll. nicht direkt wüßte, wie man die Ableitung berechnen kann ($x [mm] \mapsto \sin(x^4)\,,$ [/mm] $x [mm] \mapsto \sin(\cos(x))\,$...)
[/mm]
Also:
Um oben $(f [mm] \circ [/mm] g)(u,v)$ zu berechnen, schaust Du nun Beispielsweise in Satz 19.15.2.
(Beachte aber, dass im Skript [mm] $\,g\,$ [/mm] die äußere und [mm] $\,f\,$ [/mm] die innere Funktion ist, d.h. formal musst Du dann dort überall die Rollen von [mm] $\,f\,$ [/mm] und [mm] $\,g\,$ [/mm] gegeneinander vertauschen, weil bei Dir ja oben [mm] $\,f\,$ [/mm] die äußere und [mm] $\,g\,$ [/mm] die innere Funktion ist.)
Du brauchst (mit den Bezeichnungen aus dem Skript) dann oben [mm] $J_f\,,$ [/mm] und es gilt
[mm] $$J_f(x)=(z,\;-2y,\;x)\,.$$
[/mm]
Somit ist wegen [mm] $g(u,v)=(u^2,\;uv,\;v^2)$ [/mm] (was man in obigem Skript dann als [mm] $g(u,v)=(u^2,\;uv,\;v^2)^T$ [/mm] notieren würde) dann
[mm] $$J_f(g(u,v))=J_f(u^2,\;uv,\;v^2)=(v^2,\;-2uv,\;u^2)\,.$$
[/mm]
Ferner ist [mm] $$J_g(u,v)=\pmat{2u & 0 \\ v & u\\ 0 & 2v }\,.$$
[/mm]
Nach Satz 19.15.2 gilt also an der Stelle [mm] $(u,\;v)^T \in \IR^2$
[/mm]
[mm] $$J_{f \circ g}(u,v)=J_f(g(u,v))*J_g(u,v)=(v^2,\;-2uv;u^2)*\pmat{2u & 0 \\ v & u\\ 0 & 2v }=(v^2*2u-2uv*v+u^2*0,\;v^2*0-2uv*u+u^2*2v)=(0,\;0)\,.$$
[/mm]
Zum Vergleich:
Es ist $(f [mm] \circ g)(u,v)=u^2v^2-(uv)^2=0\,,$ [/mm] und das liefert natürlich sofort
[mm] $$J_{f \circ g}(u,v)=(0,\;0)\,.$$
[/mm]
Hier wäre die Rechnung mit der Kettenregel also eigentlich umständlicher. Man sieht aber, dass sie auch zum richtigen Ergebnis führt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Danke!
Aber: Welche Regel ist nun die Regel, die man in der Regel anwendet? Die mit der Ableitungsmatrix oder die "klassische" andere?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> Danke!
>
> Aber: Welche Regel ist nun die Regel, die man in der Regel
> anwendet? Die mit der Ableitungsmatrix oder die
> "klassische" andere?
in der Regel sollte man beide Regeln beherrschen. Sobald man sieht, dass sich durch Verkettungen der Funktionen nichts einfach berechenbares (bzgl. der Ableitung) ergibt oder wenn man eine Funktion hat, wo man Verkettungen erkennt und auf "normalem" Wege dann (bzgl. der Ableitung) nicht weiterkommt, musst Du halt an die Kettenregel denken.
Wie gesagt: Bei $x [mm] \mapsto (x^2+1)^{27}$ [/mm] ist es ja auch so, dass man auf klassischem Wege (mit geeigneten Hilfsmitteln oder genügend langer Rechnung) zum Ziel kommt. Mit der Kettenregel ist man in zwei Schritten fertig.
Wenn Du so etwas wie $x [mm] \mapsto \sin(\cos(x))$ [/mm] hast, dann sieht man auch sofort: Verkettung von Funktionen.
Eine allgemeine Regel "wann nehm' ich was" kann man so allgemein nicht formulieren. Wenn man auf "naivem Wege" nicht weiterkommt, sollte man halt gucken, ob bzw. wie die Kettenregel anwendbar ist. Dafür musst Du sie natürlich erst mal überhaupt beherrschen.
Und man kann sie natürlich auch unnötigerweise anwenden, an dem letzten Beispiel habe ich vorgerechnet, dass es da z.B. mit der Kettenregel umständlicher wird. Aber i.a. wird sie eher Rechnungen vereinfachen anstatt zu verkomplizieren.
Nichtsdestotrotz: Gerade bei Beweisen kann es vorkommen, dass man eine Formel so beweist, dass man etwas erst einmal "naiv" ableitet und danach mit der Kettenregel und dann die Ergebnisse vergleicht.
Du musst sie halt beherrschen und immer, wenn Du eine Verkettung bildest und danach dann ableitest und es entweder "zu lang" wird oder Du "hängenbleibst", spätestens dann solltest Du testen, ob Dir der Einsatz der Kettenregel nicht doch wesentlich weiterhilft.
Deine Frage ist viel zu allgemein, als dass man alle Fälle aufzählen könnte, wann Du was nehmen solltest und wann was besser ist etc.. Und wie so oft ist es auch hier so:
Learning by doing, d.h. die Erfahrung wird Dir auch weiterhelfen. Die Übungsaufgaben haben ja auch diesbezüglich einen Sinn, bzw. werden unter anderem auch damit gerechtfertigt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
>
> Wie gesagt: Bei [mm]x \mapsto (x^2+1)^{27}[/mm] ist es ja auch so,
> dass man auf klassischem Wege (mit geeigneten Hilfsmitteln
> oder genügend langer Rechnung) zum Ziel kommt. Mit der
> Kettenregel ist man in zwei Schritten fertig.
>
Wie würde ich denn hier vorgehen?
Ich habe anbei noch eine Frage zu der klassischen Regel, zumindest das, was wir klassisch genannt haben, also: [mm] F(t)=f(\varphi _1(t),...,\varphi [/mm] _n(t)) wobei [mm] F=fog(\varphi _1,...,\varphi [/mm] _n) und [mm] F'(t)=\summe_{j=1}^{n} \bruch{\deltaf}{\deltax_j} (\varphi _1(t),...,\varphi _n(t))*\varphi [/mm] '_j(t)
Das sieht mir aus, als wären diese [mm] \varphi's [/mm] immer einzeln gegeben, wie in einem Beispiel das ich habe:
[mm] \varphi [/mm] _1(t)=ln t, das zweite ist [mm] t^2 [/mm] und das dritte [mm] e^t [/mm] für [mm] f(x,y,z)=x*e^{y*z^2}
[/mm]
und nun wird einfach immer ein [mm] \varphi [/mm] in die jeweils erste partielle Ableitung eingesetzt und mit einer Ableitung der [mm] \varphi [/mm] 's multipliziert, anschließend wird alles addiert.
Aber habe ich immer versciedene [mm] \varphi [/mm] 's gegeben? Oder lautete dann die [mm] \varphi [/mm] -FUnktion zB: ln t+ [mm] t^2 [/mm] + [mm] e^t?
[/mm]
Daher auch meine Frage oben an dich, wie du das gelöst hättest, denn hier habe ich zum ersten Mal nur eine ganze Funktion gegeben, nicht aber die 2 Funktionen, die ich verketten soll.
Vor allem aber frage ich mich: Wieso kann ich nicht einfach hingehen und meine 2 Funktionen verketten und dann ableiten? Ich habe zB
[mm] g(u,v)=(u^2,uv,v^2) [/mm] und [mm] f(x,y,z)=xz-y^2
[/mm]
Nun könnte ich doch g hier einfach einsetzen, also:
fog(u,v)= [mm] u^2v^2-(uv)^2
[/mm]
Dies nun ggf ableiten etc. Das wäre doch viel einfacher.
Lieben Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> >
> > Wie gesagt: Bei [mm]x \mapsto (x^2+1)^{27}[/mm] ist es ja auch so,
> > dass man auf klassischem Wege (mit geeigneten Hilfsmitteln
> > oder genügend langer Rechnung) zum Ziel kommt. Mit der
> > Kettenregel ist man in zwei Schritten fertig.
> >
>
> Wie würde ich denn hier vorgehen?
das sollte aber eigentlich sogar aus der Schule her bekannt sein. Für [mm] $h(x)=(x^2+1)^{27}$ [/mm] kann man [mm] $f(g):=g^{27}$ [/mm] und [mm] $g(x):=x^2+1$ [/mm] setzen. Dann ist $h=f [mm] \circ [/mm] g$ und nach der Kettenregel gilt $h'(x)=f'(g(x))*g'(x)$ mit [mm] $f'(g)=27g^{26}\,,$ [/mm] also [mm] $f'(g(x))=27(x^2+1)^{26}$ [/mm] und [mm] $h'(x)=2x\,,$ [/mm] und damit
[mm] $$h'(x)=27(x^2+1)^{26}*2x=54x(x^2+1)^{26}\,.$$
[/mm]
> Ich habe anbei noch eine Frage zu der klassischen Regel,
> zumindest das, was wir klassisch genannt haben, also:
> [mm]F(t)=f(\varphi _1(t),...,\varphi[/mm] _n(t)) wobei [mm]F=fog(\varphi _1,...,\varphi[/mm]
> _n) und [mm]F'(t)=\summe_{j=1}^{n} \bruch{\deltaf}{\deltax_j} (\varphi _1(t),...,\varphi _n(t))*\varphi[/mm] '_j(t)
Bist Du mit dem Vorzeichen sicher? Vgl. etwa dieses Skript, Anfang Kapitel 20.
> Das sieht mir aus, als wären diese [mm]\varphi's[/mm] immer einzeln
> gegeben, wie in einem Beispiel das ich habe:
Wenn Du die Kettenregel anwenden willst, musst Du natürlich die Funktionen gegeben haben bzw. erkennen, welche Funktionen da verkettet wurde. Die obige Formel scheint mir für den Spezialfall, dass die äußere Funktion nach [mm] $\IR$ [/mm] abbildet, angebracht zu sein, vgl. Skript oben. (In Deiner Formel steht wohl [mm] $\varphi_j$ [/mm] für [mm] $\frac{\partial}{\partial x_j}\varphi\,,$ [/mm] )
> [mm]\varphi[/mm] _1(t)=ln t, das zweite ist [mm]t^2[/mm] und das dritte [mm]e^t[/mm]
> für [mm]f(x,y,z)=x*e^{y*z^2}[/mm]
>
> und nun wird einfach immer ein [mm]\varphi[/mm] in die jeweils
> erste partielle Ableitung eingesetzt und mit einer
> Ableitung der [mm]\varphi[/mm] 's multipliziert, anschließend wird
> alles addiert.
>
> Aber habe ich immer versciedene [mm]\varphi[/mm] 's gegeben? Oder
> lautete dann die [mm]\varphi[/mm] -FUnktion zB: ln t+ [mm]t^2[/mm] + [mm]e^t?[/mm]
>
> Daher auch meine Frage oben an dich, wie du das gelöst
> hättest, denn hier habe ich zum ersten Mal nur eine ganze
> Funktion gegeben, nicht aber die 2 Funktionen, die ich
> verketten soll.
>
> Vor allem aber frage ich mich: Wieso kann ich nicht einfach
> hingehen und meine 2 Funktionen verketten und dann
> ableiten? Ich habe zB
>
> [mm]g(u,v)=(u^2,uv,v^2)[/mm] und [mm]f(x,y,z)=xz-y^2[/mm]
>
> Nun könnte ich doch g hier einfach einsetzen, also:
>
> fog(u,v)= [mm]u^2v^2-(uv)^2[/mm]
>
> Dies nun ggf ableiten etc. Das wäre doch viel einfacher.
Ich habe doch oben vorgerechnet, wie die Kettenregel bei [mm] $f(x,y,z)=x\,z-y^2$ [/mm] und [mm] $g(u,v)\,=\,(u^2,uv,v^2)$ [/mm] angewendet wird. Das verstehst Du natürlich nur, wenn Du überhaupt Funktionen $M [mm] \subset \IR^d \to \IR^n$ [/mm] ableiten kannst.
Und dass oben $(f [mm] \circ g)(u,v)=u^2v^2-(uv)^2=u^2v^2-u^2v^2=0$ [/mm] natürlich ganz trivial abzuleiten ist, steht außer Frage. Das war ein Beispiel, wo die Kettenregel mal (ausnahmsweise) unnötig angewendet wurde. Nichtsdestotrotz hat sie das richtige Ergebnis geliefert.
Du musst das vielleicht alles mal in Ruhe nochmal lesen und nachrechnen. Nimm' Dir mal ein wenig mehr Zeit dafür und guck' nicht einfach drüber, was ich gerechnet habe, sondern mache Dir mal Gedanken, was und wieso ich was wie gerechnet habe und rechne es nochmal nach. Ansonsten wird's immer daran scheitern, dass Dir Dinge unklar bleiben, weil Du einfach nur erwartest, dass Du sie direkt verstehst und verinnerlichst, wenn jemand Dir etwas dazu sagt. Damit alleine ist's aber nicht getan, Du musst Dich selbst an die Sachen heranwagen und auch mal selbst versuchen, Deine Unklahrheiten zu beseitigen. Es ist ja schon gut, wenn Du die Dinge benennen kannst, die Dir unklar sind, aber Du mußt auch mal selber zu dem Punkt gelangen, dass Du auch konkret weißt, warum Dir das unklar ist. Und ich habe oben eher das Gefühl, dass Du über die Rechnung drüber geschaut hast und gesagt hast: "Aha, der kommt also zum richtigen Ergebnis und weiß die Kettenregel anscheinend richtig anzuwenden!"
Das ist zu wenig! Du mußt eigentlich wenigstens jeden Rechenschritt nachvollziehen können bis vll. zu einer ersten Stelle, wo Du die Rechnung nicht verstehst und ab da nachfragen.
Dann wirst Du auch merken, dass Du weniger, dafür aber präzisere Fragen stellen wirst und kannst. Ich behaupte sogar, dass sich die Qualität Deiner Fragen dann steigern wird!
Und wie Schachuzipus schonmal sagte:
Zwischendurch immer mal Pausen machen und was anderes machen, ablenken etc. Gönn' Dir mal Pausen und Erholung, gerade in Mathe ist's auch nicht ungewöhnlich, dass dann vll. mal die Lösung eines Deiner Probleme sich im Unterbewußten zu lösen beginnt und Du die Dinge dann oder danach viel klarer siehst
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[]](http://img228.imageshack.us/my.php?image=kr1qq6.jpg){kind=small}
[img=http://img228.imageshack.us/img228/7864/kr1qq6.th.jpg]![[]](http://img228.imageshack.us/my.php?image=kr2hp2.jpg){kind=small}
[img=http://img228.imageshack.us/img228/4285/kr2hp2.th.jpg]