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| Aufgabe | Bestimmen Sie Sie mit Hilfe von Separationsansatz und anschließend Superposition eine möglichst allgemeine Lösung des folgenden Randwertproblems für die Diffusionsgleichung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = [mm] c^2\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(0,t) [/mm] = [mm] u(\pi,t) [/mm] = 0 für t [mm] \ge [/mm] 0
Hierbei ist c > 0 eine Konstante. |
hey,
Also ich habe von einer ähnlichen Aufgabe die Musterlösung von letztem Jahr und versuche mich daran zu orientieren.
Würde gerne wissen ob meine Lösung richtig ist?
Trennung der Veränderlichen:
u(x,t) = X(x)T(t) 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
Das führt zu:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = X(x)T'(t) [mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=X''(x)T(t) [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
sodass gelten muss:
[mm] \bruch{T'(t)}{T(t)} [/mm] = [mm] c^2 \bruch{X''(x)}{X(x)} [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] L , t [mm] \ge [/mm] 0
Dabei ist [mm] X(x)\not=0 [/mm] und [mm] T(t)\not=0 [/mm] für alle 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] L , t [mm] \ge [/mm] 0
Dies ergibt:
[mm] \bruch{T'(t)}{T(t)} [/mm] = [mm] c^2 \bruch{X''(x)}{X(x)} =-s^2 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0 und mit s [mm] \ge [/mm] 0
es folgt:
[mm] X''(x)+(\bruch{s}{c})^2X(x) [/mm] = 0 für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm]
[mm] T'(t)+s^{2}T(t) [/mm] = 0 für t [mm] \ge [/mm] 0
für [mm] s\ge [/mm] 0 erhält man nun die Lösungen:
[mm] \varphi_{s}(x,t) [/mm] = [mm] cos(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} [/mm]
[mm] \psi_{s}(x,t) [/mm] = [mm] sin(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
Wegen [mm] e^{-s^2t} \not= [/mm] 0 und für alle [mm] t\ge [/mm] 0 wird Betrachtung von [mm] \varphi_{s} [/mm] und [mm] \psi_{s} [/mm] beschränkt.
Wegen [mm] \bruch{\partial \psi_{s}}{\partial x}(0,t) [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} |_{x=0} [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}0)e^{-s^2t} [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}e^{-s^2t} \not=0
[/mm]
-> [mm] s\not= [/mm] 0
und [mm] \psi_{0}=0 [/mm] kommt nur [mm] \varphi_{s} [/mm] für weitere Betrachtung in Frage.
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Ab hier bin ich mir nicht mehr 100% sicher.
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[mm] \bruch{\partial \varphi_{s}}{\partial x}(0,t) [/mm] = [mm] -\bruch{s}{c}sin(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} |_{x=0} [/mm] = [mm] -\bruch{s}{c}sin(\bruch{s}{c}0)e^{-s^2t} [/mm] = 0
In dem Punkt [mm] x=\pi [/mm] führt die Randbedingung auf
[mm] \varphi_{s}(\pi,t) [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} |_{x=\pi} [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}\pi)e^{-s^2t} [/mm] =! 0
was für [mm] \bruch{s\pi}{c} \in {0,\pi , 2\pi ,3\pi ,.....} [/mm] erfüllt ist.
Dies bedeutet: [mm] s\in [/mm] {nc : n =0,1,2,....}
Somit stellt die Funktion:
[mm] u_{n}(x,t):=cos(nx)e^{-(nc)^2t} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0 , n=1,2,.....,
jeweils eine Lösungen dar.
Die Superposition liefert:
u(x,t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}u_{n}(x,t) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}cos(nx)e^{-(nc)^2t} [/mm] für für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
stimmt das so??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 05.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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