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| Aufgabe | Gegeben ist die inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung [mm] \(y'-(tanhx)*y=2cosh^2x
[/mm]
Wie lautet die allgemeine Lösung y(t) dieser DGL?
Lösung: [mm] \(y(x)=C*coshx
[/mm]
[mm] \(y(x)=sinhx+Kcoshx [/mm] |
Also das erste bekomme ich noch hin:
[mm] y(x)=C*e^{-\integral_{}^{}{-tanhx dx}}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] -\integral_{}^{}{-tanhx dx}=+\integral_{}^{}{tanhx dx}=\integral_{}^{}{\bruch{sinhx}{coshx} dx} [/mm] logarithmisches Integral! mit: [mm] \(f(x)=coshx [/mm] und [mm] \(f'(x)=sinhx [/mm]
=ln|coshx|
in Hauptrechnung eingesetzt:
[mm] y(x)=C*e^{ln|coshx|}
[/mm]
y(x)=C*coshx
aber dann wirds iwie schwierig!
es gibt ja immer so eine Tabelle mit den Störfunktionen und den möglichen Lösungsansätzen für [mm] \(y_p
[/mm]
Welchen Lösungsansatz soll ich da wählen:
[mm] y_p=A*sin(x)+B*cos(x)
[/mm]
oder:
[mm] y_p=A*sin(x)
[/mm]
die richten sich ja je nach Störfunktion, oder?
Also muss ich die auf g(x)=2cosh2x angleichen????
Dankbar für Tipps & Lösungshilfen!!!!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Gegeben ist die inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung
> [mm]\(y'-(tanhx)*y=2cosh^2x[/mm]
> Wie lautet die allgemeine Lösung y(t) dieser DGL?
>
> Lösung: [mm]\(y(x)=C*coshx[/mm]
> [mm]\(y(x)=sinhx+Kcoshx[/mm]
Die Lösung sollte
[mm] $y(x)=\sinh(2x)+K\cosh(x)$
[/mm]
sein, außer ich verrechne mich hier gerade ständig.
> Also das erste bekomme ich noch hin:
> [mm]y(x)=C*e^{-\integral_{}^{}{-tanhx dx}}[/mm]
> Nebenrechnung:
> [mm]-\integral_{}^{}{-tanhx dx}=+\integral_{}^{}{tanhx dx}=\integral_{}^{}{\bruch{sinhx}{coshx} dx}[/mm]
> logarithmisches Integral! mit: [mm]\(f(x)=coshx[/mm] und
> [mm]\(f'(x)=sinhx[/mm]
> =ln|coshx|
>
> in Hauptrechnung eingesetzt:
> [mm]y(x)=C*e^{ln|coshx|}[/mm]
> y(x)=C*coshx
Richtig.
>
> aber dann wirds iwie schwierig!
> es gibt ja immer so eine Tabelle mit den Störfunktionen
> und den möglichen Lösungsansätzen für [mm]\(y_p[/mm]
>
> Welchen Lösungsansatz soll ich da wählen:
> [mm]y_p=A*sin(x)+B*cos(x)[/mm]
> oder:
> [mm]y_p=A*sin(x)[/mm]
Hast Du rechts sin oder cos stehen? Nein.
Die Lösung kriegt man leicht (wenn es [mm] $\sinh(2x)$ [/mm] ist, wie geschrieben =) mit Variation der Konstanten.
Ansatz [mm] $y=C(x)*\cosh [/mm] x$, das in die DGl einsetzen und schauen, was C(x) sein muß.
Da sollte rauskommen [mm] $C(x)=2\sinh(x)$ [/mm] und damit ist die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
[mm] $y=2\sinh(x)\cosh(x)=\sinh(2x)$
[/mm]
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 So 14.03.2010 | | Autor: | Die_Tuete1 |
Sry mit der Lösung hattest du natürlich recht: war sinh2x
also dank deines Lösungsansatzes konnte ich das jetzt ganz gut lösen:
[mm] \(y=C(x)*coshx
[/mm]
[mm] \(y'=c'(x)+c(x)*sinhx [/mm] (Produktregel)
einsetzen in Ausgangsgleichung:
[mm] \(c'(x)+c(x)*sinhx-tanhx*C(x)*coshx=2cosh^2x |tanhx=\bruch{sinhx}{coshx}
[/mm]
[mm] c'(x)+c(x)*sinhx-\bruch{sinhx}{coshx}*C(x)*coshx=2cosh^2x
[/mm]
[mm] c'(x)=\bruch{2cosh^2x}{coshx}=2coshx
[/mm]
Aufleitung:
[mm] \(c(x)=2*sinhx
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] \(y=c(x)*coshx=2sinhx*coshx=sinh2x
[/mm]
Daraus folgt die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:
[mm] y=y_h+y_p=sinh2x+C(X)*coshx
[/mm]
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