allg. Lösung der Gleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Do 08.11.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Gleichungssystems mit dem Eliminationsverfahren nach Gauß.
-x1-x2+3x4+x5=21
3x1+x2+x3+x4+5x5=21
x1+x2-x3+4x4+2x5=-3 |
Ich gehe nun so vor:
A: [mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 & 3 & 1| 21 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 5| 21 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & 2| -3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 & 3 & 1|21 \\ 0 & -2 & 1 & 10 & 8|84 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 3|18 }
[/mm]
Rang A=3 Rang(A|B)=3 [mm] \wedge [/mm] r<n
Somit besitzt das System unendlich viele Lösungen, wobei man nun die allgemeine Form bestimmt.
[mm] L(G)=x_{p}+x_{n}
[/mm]
1. Homogene Lösung: ich setze [mm] x5:\alpha [/mm] und [mm] x4:\beta
[/mm]
-x1-x2+3*x4+x5=0
-2x2+x3+10*x4+8*x5=0
-x3+7*x4+3*x5=0
[mm] -x1-x2=-3\beta-1\alpha
[/mm]
[mm] -2x2+x3=-10\beta-8\alpha
[/mm]
[mm] -1x3=-7\beta-3\alpha
[/mm]
[mm] x1=-4,5\alpha-5,5\beta
[/mm]
[mm] x2=5,5\alpha+8,5\beta
[/mm]
[mm] x3=7\beta+3\alpha
[/mm]
[mm] x_{n}= \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}= \pmat{-4.5\alpha-5.5\beta \\ 5.5\alpha+8.5\beta \\ 3\alpha+7\beta \\ \beta \\ \alpha }
[/mm]
2. Partikuläre Lösung
-x1-x2+3*x4+x5=21
-2x2+x3+10*x4+8*x5=84
-x3+7*x4+3*x5=18
ich setze x5=0 und x4=0, somit sind:
x1=30
x2=-51
x3=-18
[mm] x_{p}=\vektor{30 \\ -51 \\ -18 \\ 0 \\0}
[/mm]
[mm] Endergebnis:L(G)=x_{p}+x_{n}=\vektor{30 \\ -51 \\ -18 \\ 0 \\0}+ \pmat{-4.5\alpha-5.5\beta \\ 5.5\alpha+8.5\beta \\ 3\alpha+7\beta \\ \beta \\ \alpha }
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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Hallo,
sieht prima aus. Das Endergebnis stimmt auch. Nur zwei Sachen:
1. die Schreibweise [mm] $x_5:\alpha$ [/mm] ist mir unbekannt. Meinst du [mm] $x_5=:\alpha$?
[/mm]
2. Das $L(G)$ ist eine Menge von Lösungsvektoren, also müsstest du schreiben:
[mm] $L(G)=\left\{x \mid x=x_{p}+r*x_{n}, r\in\IR\right\}=\left\{x \mid x=\vektor{30 \\ -51 \\ -18 \\ 0 \\0}+ r*\pmat{-4.5\alpha-5.5\beta \\ 5.5\alpha+8.5\beta \\ 3\alpha+7\beta \\ \beta \\ \alpha }, r\in\IR \right\} [/mm] $
oder so ähnlich.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Do 08.11.2007 | | Autor: | Owen |
Ok, vielen Dank 
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