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Hallo Leute,
Bin mal wieder an einem Punkt angekommen wo ich nicht mehr so ganz genau weiter weiß! Vielleicht vermag mir ja jemand, dabei zu helfen:
Ich habe Endomorphismen und Charakteristische Polynome zerlegt
(Ziel ist es, herauszufinden ob diese diagonalisierbar sind)
dabei stieß ich auf folgende Problemstellungen;
1. (x-3)(x+2)(x-1) = 0 (algebraische Vielfachheit = 3 !?)
2. (x-3)²(x+2) = 0 (algebraische Vielfachheit = 2 oder 3 ?)
3. (x-2)²-4 = 0 (algebraische Vielfachheit = 1 oder 2 ?)
Wie sieht es überhaupt in dem 3. Fall mit der Diagonalisierbarkeit aus, da das charakteristische Polynom hier nicht vollständig in seine Linearfaktoren zerfällt, wissen wir hier doch eigens schon, dass der Endomorphismus zu jender Matrix nicht Diagonalisierbar ist, richtig?
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus schon einmal,
Euer Dummbaz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 13.02.2005 | | Autor: | c_craz |
Hallo
Die algebraische Vielfachheit ist für jeden Eigenwert einzeln zu betrachten.
Bei deinem ersten Beispiel gibt es drei Eigenwerte (3, -2, 1) die jeweils die algebraische Vielfachheit 1 haben.
Bei dem zweiten Beispiel hat der erste Eigenwert eine algebraische Vielfachheit von 2, hier hängt die diagonalisierbarkeit von der geometrischen Vielfachheit dieses Eigenwertes ab; ist die geometrische und die algebraische Vielfachheit gleich, so ist die Matrix diagonalisierbar.
Bei dem dritten Beispiel würde ich sagen das du es einfach weiter auflösen kannst
(x-2)²=4
...
=> [mm] $x_{1}$=0 [/mm] und [mm] $x_{2}$=4
[/mm]
Also ergibt sich eine Linearfaktorzerlegung von x*(x-4)
Also ist auch hier die algebraische Vielfachheit jeweils 1.
Hoffe ich konnte etwas weiterhelfen
MfG c_craz
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