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| Aufgabe | 1) a) Berechnen Sie den Grad von [mm] [\IQ(\wurzel[p]{d} [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] und [mm] [\IQ(\zeta_p) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] , wobei [mm] \zeta_p [/mm] := [mm] e^{\bruch{2\pi i}{p}}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass [mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = (p-1) * p
c) Wird f(x) in [mm] \IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] in lineare Faktoren faktorisiert? |
Huhu zusammen!
Also bisher hab ich folgendes:
zu a) Der Grad von beiden ist p , da das Polynom [mm] x^p [/mm] -1 / [mm] x^p [/mm] -d von eine Nullstelle ist. Das Polynom ist Minimalpolynom, da wir schon mithilfe des Eisensteinschen kriteriums dies nachgewiesen haben.
b) Es gilt mit Gradformel:
[mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = [mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ(\zeta_p)] [/mm] * [mm] [\IQ(\zeta_p) [/mm] : [mm] \IQ]
[/mm]
und
[mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ(\wurzel[p]{d}] [/mm] * [mm] [\IQ(\wurzel[p]{d} [/mm] : [mm] \IQ]
[/mm]
Nun bleibt zu zeigen, dass [mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ(\zeta_p)] [/mm] = [mm] [\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ(\wurzel[p]{d}] [/mm] = (p-1), dies ist mir nicht ganz klar, warum das so ist. Ich weiß dass der grad der beiden auf jeden Fall [mm] \le [/mm] p ist, aber warum genau p-1 weiß ich nicht :/
c) Ich denke ja, es ist f(x) = [mm] x^p [/mm] -1 = [mm] (x-1)*(x^{p-1} [/mm] + [mm] x^{p-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1)
= (x-1) [mm] *[x^{p-1} [/mm] -1 [mm] +x^{p-2}+...+2]
[/mm]
= (x-1) [mm] *[(x-1)(x^{p-2}+...+1) [/mm] + [mm] x^{p-2} [/mm] +...+2] und ich denke das kann ich noch weiterführen, dauert nur etwas^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 So 07.12.2014 | | Autor: | hippias |
> 1) a) Berechnen Sie den Grad von [mm][\IQ(\wurzel[p]{d}[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> und [mm][\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] , wobei [mm]\zeta_p[/mm] := [mm]e^{\bruch{2\pi i}{p}}[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, dass [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] =
> (p-1) * p
>
> c) Wird f(x) in [mm]\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] in lineare
> Faktoren faktorisiert?
>
> Huhu zusammen!
>
> Also bisher hab ich folgendes:
>
> zu a) Der Grad von beiden ist p , da das Polynom [mm]x^p[/mm] -1 /
> [mm]x^p[/mm] -d von eine Nullstelle ist. Das Polynom ist
> Minimalpolynom, da wir schon mithilfe des Eisensteinschen
> kriteriums dies nachgewiesen haben.
Das kann ich beim besten Willen nicht verstehen. Druecke Dich doch klarer aus.
>
> b) Es gilt mit Gradformel:
>
>
> [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm]
> : [mm]\IQ(\zeta_p)][/mm] * [mm][\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
>
> und
>
>
> [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm]
> : [mm]\IQ(\wurzel[p]{d}][/mm] * [mm][\IQ(\wurzel[p]{d}[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
>
> Nun bleibt zu zeigen, dass [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] :
> [mm]\IQ(\zeta_p)][/mm] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] :
> [mm]\IQ(\wurzel[p]{d}][/mm] = (p-1), dies ist mir nicht ganz klar,
> warum das so ist. Ich weiß dass der grad der beiden auf
> jeden Fall [mm]\le[/mm] p ist, aber warum genau p-1 weiß ich nicht
> :/
Welche der obigen Grade sind Dir denn bekannt? Und warum?
>
>
> c) Ich denke ja, es ist f(x) = [mm]x^p[/mm] -1 = [mm](x-1)*(x^{p-1}[/mm] +
> [mm]x^{p-1}[/mm] + [mm]\dots[/mm] + 1)
>
> = (x-1) [mm]*[x^{p-1}[/mm] -1 [mm]+x^{p-2}+...+2][/mm]
>
> = (x-1) [mm]*[(x-1)(x^{p-2}+...+1)[/mm] + [mm]x^{p-2}[/mm] +...+2] und ich
> denke das kann ich noch weiterführen, dauert nur etwas^^
Und? Was ist denn $f$ ueberhaupt?
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> > 1) a) Berechnen Sie den Grad von [mm][\IQ(\wurzel[p]{d}[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> > und [mm][\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] , wobei [mm]\zeta_p[/mm] := [mm]e^{\bruch{2\pi i}{p}}[/mm]
>
> >
> > b) Zeigen Sie, dass [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] =
> > (p-1) * p
> >
> > c) Wird f(x) in [mm]\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] in lineare
> > Faktoren faktorisiert?
> >
> > Huhu zusammen!
> >
> > Also bisher hab ich folgendes:
> >
> > zu a) Der Grad von beiden ist p , da das Polynom [mm]x^p[/mm] -1 /
> > [mm]x^p[/mm] -d von eine Nullstelle ist. Das Polynom ist
> > Minimalpolynom, da wir schon mithilfe des Eisensteinschen
> > kriteriums dies nachgewiesen haben.
> Das kann ich beim besten Willen nicht verstehen. Druecke
> Dich doch klarer aus.
Sry also wir wissen bereits, dass
[ [mm] \IQ(\wurzel[p]{d}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [ [mm] \IQ(\zeta_p) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = p
Das steht da mehr oder weniger
> > b) Es gilt mit Gradformel:
> >
> >
> > [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm]
> > : [mm]\IQ(\zeta_p)][/mm] * [mm][\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> >
> > und
> >
> >
> > [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm]
> > : [mm]\IQ(\wurzel[p]{d}][/mm] * [mm][\IQ(\wurzel[p]{d}[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> >
> > Nun bleibt zu zeigen, dass [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] :
> > [mm]\IQ(\zeta_p)][/mm] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] :
> > [mm]\IQ(\wurzel[p]{d}][/mm] = (p-1), dies ist mir nicht ganz klar,
> > warum das so ist. Ich weiß dass der grad der beiden auf
> > jeden Fall [mm]\le[/mm] p ist, aber warum genau p-1 weiß ich nicht
> > :/
> Welche der obigen Grade sind Dir denn bekannt? Und warum?
Siehe oben^^
> >
> > c) Ich denke ja, es ist f(x) = [mm]x^p[/mm] -1 = [mm](x-1)*(x^{p-1}[/mm] +
> > [mm]x^{p-1}[/mm] + [mm]\dots[/mm] + 1)
> >
> > = (x-1) [mm]*[x^{p-1}[/mm] -1 [mm]+x^{p-2}+...+2][/mm]
> >
> > = (x-1) [mm]*[(x-1)(x^{p-2}+...+1)[/mm] + [mm]x^{p-2}[/mm] +...+2] und ich
> > denke das kann ich noch weiterführen, dauert nur etwas^^
> Und? Was ist denn [mm]f[/mm] ueberhaupt?
Mein Minimalpolynom f ist in dem Fall [mm] x^p [/mm] -1 bzw [mm] x^p [/mm] -d. Ich denke ich muss es hier ja nur bis in lineare Terme faktorisieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 So 07.12.2014 | | Autor: | hippias |
> > > 1) a) Berechnen Sie den Grad von [mm][\IQ(\wurzel[p]{d}[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> > > und [mm][\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] , wobei [mm]\zeta_p[/mm] := [mm]e^{\bruch{2\pi i}{p}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > b) Zeigen Sie, dass [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] =
> > > (p-1) * p
> > >
> > > c) Wird f(x) in [mm]\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] in lineare
> > > Faktoren faktorisiert?
> > >
> > > Huhu zusammen!
> > >
> > > Also bisher hab ich folgendes:
> > >
> > > zu a) Der Grad von beiden ist p , da das Polynom [mm]x^p[/mm] -1 /
> > > [mm]x^p[/mm] -d von eine Nullstelle ist. Das Polynom ist
> > > Minimalpolynom, da wir schon mithilfe des Eisensteinschen
> > > kriteriums dies nachgewiesen haben.
> > Das kann ich beim besten Willen nicht verstehen.
> Druecke
> > Dich doch klarer aus.
>
> Sry also wir wissen bereits, dass
>
> [ [mm]\IQ(\wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = [ [mm]\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = p
>
> Das steht da mehr oder weniger
Aha. Dann will ich mal mitspielen: Das ist mehr oder weniger falsch.
>
>
> > > b) Es gilt mit Gradformel:
> > >
> > >
> > > [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm]
> > > : [mm]\IQ(\zeta_p)][/mm] * [mm][\IQ(\zeta_p)[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > >
> > > [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm]
> > > : [mm]\IQ(\wurzel[p]{d}][/mm] * [mm][\IQ(\wurzel[p]{d}[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> > >
> > > Nun bleibt zu zeigen, dass [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] :
> > > [mm]\IQ(\zeta_p)][/mm] = [mm][\IQ(\zeta_p, \wurzel[p]{d})[/mm] :
> > > [mm]\IQ(\wurzel[p]{d}][/mm] = (p-1), dies ist mir nicht ganz klar,
> > > warum das so ist. Ich weiß dass der grad der beiden auf
> > > jeden Fall [mm]\le[/mm] p ist, aber warum genau p-1 weiß ich nicht
> > > :/
> > Welche der obigen Grade sind Dir denn bekannt? Und
> warum?
>
> Siehe oben^^
Dito.
>
> > >
> > > c) Ich denke ja, es ist f(x) = [mm]x^p[/mm] -1 = [mm](x-1)*(x^{p-1}[/mm] +
> > > [mm]x^{p-1}[/mm] + [mm]\dots[/mm] + 1)
> > >
> > > = (x-1) [mm]*[x^{p-1}[/mm] -1 [mm]+x^{p-2}+...+2][/mm]
> > >
> > > = (x-1) [mm]*[(x-1)(x^{p-2}+...+1)[/mm] + [mm]x^{p-2}[/mm] +...+2] und ich
> > > denke das kann ich noch weiterführen, dauert nur etwas^^
> > Und? Was ist denn [mm]f[/mm] ueberhaupt?
>
>
> Mein Minimalpolynom f ist in dem Fall [mm]x^p[/mm] -1 bzw [mm]x^p[/mm] -d.
> Ich denke ich muss es hier ja nur bis in lineare Terme
> faktorisieren
Das ist mehr oder weniger falsch. Dass mit $f$ ueberhaupt irgendein Minimalpolynom gemeint sein, geht aus Deinem Text doch ueberhaupt nicht hervor.
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Sry !
Zur a) korrigier ich mich und sage , dass [ [mm] \IQ(\zeta_p) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = p-1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 09.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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