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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei F ein Körper und V ein F-Vektorraum.
(i) Seien v,w [mm] \in [/mm] V und [mm] U_{i} \subseteq [/mm] V, i=1,2. Untervektorräume. Bestimmen Sie [mm] (v+U_{1})\cap(w+U_{2})
[/mm]
(ii) Zeigen Sie nun generell, dass der Schnitt einer beliebigen Anzahl von affinen Unterräumen eines Vektorraums V entweder leer oder wieder ein affiner Unterraum ist. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu (i):
Der "Durchschnitt" bedeutet eigentlich : zwei Teilmengen ( eine Teilmenge von der linken Seite und eine Teilmenge von der rechten) müßen gleich sein.
Das würde für die Aufgabe bedeuten, dass man solche zwei (Teil-)Mengen finden soll.
Ich habe die linke Seite mit der rechten Seite gleichgesetzt, um zu schauen, wo die beiden Mengen gleich sind.
Ich habe dann geschrieben: [mm] v+U_{1}=w+U_{2}, [/mm] bzw. [mm] v+u_{1n}=w+u_{2n}. [/mm] Dann in Komponenten ausgeschrieben - das LGS lösen, das ungefähr so aussieht:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
. . . . . . .
. . . . . . .
(n-Gleichungen(=n-Komponenten))
am Ende steht dann:
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
..............
..............
Würde das bedeuten, dass man die Gleichung [mm] v_{1}+u_{11}=w_{1}+u_{21} [/mm] lössen sollte ?
Ist der Ansatz in Ordnung?
Gruss
Igor
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> Sei F ein Körper und V ein F-Vektorraum.
> (i) Seien v,w [mm]\in[/mm] V und [mm]U_{i} \subseteq[/mm] V, i=1,2.
> Untervektorräume. Bestimmen Sie [mm](v+U_{1})\cap(w+U_{2})[/mm]
Hallo,
bevor Du irgendwas mit irgendwelchen Komponenten machst, brauchst Du doch eine Basis, auf die sich die Komponenten beziehen sollen.
Du mußt hier sicher erstmal ein bißchen an die Definitionen gehen.
Die [mm] U_i [/mm] sind vektorräume, haben also jeweils eine Basis - genau wie auch V ein VR mit einer Basis ist.
Nun würde ich mir hier erstmal für all die Räume eine möglichst gute Basis beschaffen - also Basen, die etwas miteinander zu tun haben.
Danach kann man ja weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 16.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
in der Vorlesung kamen die Basen noch nicht dran.
Geht das auch ohne den Begriff "Base"?
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> in der Vorlesung kamen die Basen noch nicht dran.
Hallo,
also, tut mir leid: das kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen.
Was ist das für eine Vorlesung?
Es ist ja hier auch von Vektorräumen die Rede, und in diesem Zusammenhang ist der Basisbegriff ja durchaus zentral.
Wie habt Ihr affine Räume definiert? Und welche Begriffe kamen gerade in der Vorlesung vor?
> Geht das auch ohne den Begriff "Base"?
"Basis" heißt das. Eine Base ist was anderes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 16.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
wir machen gerade Vektorräume,Unterräume, affine Unterräume, span, lineare Abhängigkeit, Unabhängigkeit.
Der "Basis"-Begriff kommt sehr bald.
Affiner Unterraum wurde so definiert:... S={v+u :u [mm] \in [/mm] U (Unterraum)}.
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Hallo!
habe ihr vielleicht folgendes gezeigt?
Ist $V$ ein Vektorraum und $A [mm] \subseteq [/mm] V$ ein affiner Unterraum d.h. es gibt ein $v [mm] \in [/mm] V$ und einen Unterraum $U [mm] \subseteq [/mm] V$ mit $A = v + U$. Sei weiter $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig. Dann gilt $A = x + U$.
Mit anderen Worten: als "Grundpunkt" eines affinen Raumes kann jedes Element von diesem Raum dienen.
Falls ihr das gemacht habt, verwende dies, falls nicht, versuche es zu zeigen! Denn damit ist die Aufgabe recht einfach:
Entweder der Schnitt der affinen Räume ist leer. Andernfalls gibt es ein Element $x$ im Schnitt und beide Räume können so wie oben beschrieben notiert werden. Dann kann aber der Schnitt auf eine bestimmte Weise dargestellt werden, die nur das Element $x$ und den Schnitt der Unterräume beinhaltet...
Liebe Grüße,
Lars
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