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Hallo...
Ich habe hier eine Definition fuer eine affine Abbildung, die folgendermassen lautet: Eine bijektive Abbildung g: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] heisst affin, wenn fuer alle x,y [mm] \in \IR^n
[/mm]
und alle a, b [mm] \in \IR [/mm] mit a+b=1 gilt: g(ax+by)=ag(x)+bg(x).
Ich moechte beweisen, dass [mm]A(\IR^n):= \left\{ g: \IR^n \to \IR^n | g-ist-affin \right\}[/mm] mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet.
Ich habe inzwischen die Abgeschlossenheit bzgl. der Komposition von Abbildungen gezeigt, das neutrale Element und das Assoziativgesetz, welches ja allgemein fuer Abbildungen gilt. Nur mit dem Inversen hatte ich ein bisschen Probleme. Kann mir jemand dabei helfen?
Danke schon mal....
Margarita
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Guten Morgen!
Also, mal sehen... für ein beliebiges [mm]g \in A(\IR^n) [/mm] wollen wir zeigen, dass das Inverse wieder affin ist. Die Umkehrabbildung existiert natürlich, weil [mm] g[/mm] eine Bijektion ist.
Wir müssen also zeigen:
[mm] g^{-1}(ax + by) = ag^{-1}(x) + bg^{-1}(y)[/mm] für [mm] x,y \in \IR^n, a,b \in \IR, a+b = 1[/mm]
Wenn man aber nun das [mm] g[/mm] auf beiden Seiten dieser Gleichung anwendet, so steht dort auf der linken Seite:
[mm] g(g^{-1}(ax+by)) = ax+by[/mm]
Und auf der rechten Seite, da [mm] g[/mm] affin ist:
[mm] g(ag^{-1}(x) + bg^{-1}(y)) = a g(g^{-1}(x)) + b g(g^{-1}(y)) = ax + by[/mm]
Die beiden Punkte, von denen wir zeigen wollen, dass sie gleich sind, werden also von [mm] g[/mm] auf den gleichen Punkt abgebildet. Nun ist das [mm] g[/mm] aber injektiv... und damit müssen sie ursprünglich schon gleich gewesen sein. :)
Wie Du siehst ist der Witz dieser Aufgabe nicht, die Umkehrabbildung zu konstruieren - sie existiert schon nach Annahme. Vielmehr ist es wichtig zu zeigen, dass die Umkehrabbildung formal den Bedingungen genügt.
Ich hoffe, es wird auch deutlich, wie man auf diese Lösung kommt: ich habe mir beide Seiten hingeschrieben, von denen ich Gleichheit zeigen will und mir dann überlegt, dass eine Anwendung von [mm] g[/mm] ja nichts zerstört, wegen der Injektivität. Und schon stand's da. :)
Lars
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