äußeres maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Do 03.11.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm] $\mu:R \to [0,\infty)$ [/mm] der Lebesgue-Inhalt (Länge eines Intervalls). Fur $A [mm] \subset \mathbb{R}$ [/mm] bezeichnen wir mit
[mm] $U(A):=\{(A_n)_{n \in \mathbb{N}}:A_n \in R \ \mathrm{ und } \ A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \}$ [/mm] und
[mm] $\mu^{\ast}(A):=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n):(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in U(A)\}$, [/mm] sowie
[mm] $V(A):=\{(A_n)_{n=1,...,N}:N \in \mathbb{N}, A_n \in R \ \mathrm{ und } \ A\subset \bigcup_{n=1}^{N}A_n\}$,
[/mm]
[mm] $\mu^{\#}:=\inf\{\sum_{n=1}^{N}\mu(A_n):(A_n)_{n=1,...,N} \in V(A)\}.$
[/mm]
Zeige: [mm] $\mu^{\ast}(\mathbb{Q} \cap [0,1])=0<1=\mu^{\#}(\mathbb{Q}\cap [/mm] [0,1]).$
Folgere: [mm] $\mu^{\#}$ [/mm] ist kein äußeres Maß.$ |
Hallo,
diese blöden Definitionen verwirren mich etwas. Die Menge $U(A)$ gibt ja die abzählbar unendlichen Überdeckungen an, während V(A) endliche Überdeckungen enthält.
Wenn ich jetzt das [mm] $\mathbb{Q} [/mm] Intervall [0,1] mit abzählbaren Mengen überdecken kann, so wäre doch sicherlich eine Überdeckung einfach gegeben durch die Vereinigung der Intervalle der Form [a,a] mit rationalen Zahlen a. Von jedem dieser Intervalle ist das *-Maß 0, also das Infimum auch. Da das Maß immer positiv ist, muss 0 die größte untere Schranke sein. Damit wäre doch [mm] $\mu^{\ast}(\mathbb{Q} \cap [/mm] [0,1])=0$ gezeigt, oder ist das so ganz falsch?
Wenn ich [0,1] endlich überdecken soll, dann geht das natürlich nur mit Intervallen der Form $[a,b), a<b$. Wenn man die Längen aller dieser Teilintervalle addiert, muss man natürlich auf 1 kommen. Kann (Sollte) man das noch formaler machen?
Aber warum ist nun [mm] $\mu^{\#} [/mm] kein äußeres Maß? Ich weiß, dass [mm] $\mu^{\ast}$ [/mm] ein äußeres Maß ist. Wahrscheinlich ist die Subadditivität nicht erfüllt, aber das sehe ich noch nicht so ganz ein.
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> Sei R ein Ring und [mm]\mu:R \to [0,\infty)[/mm] der Lebesgue-Inhalt
> (Länge eines Intervalls). Fur [mm]A \subset \mathbb{R}[/mm]
> bezeichnen wir mit
> [mm]U(A):=\{(A_n)_{n \in \mathbb{N}}:A_n \in R \ \mathrm{ und } \ A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \}[/mm]
> und
> [mm]\mu^{\ast}(A):=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n):(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in U(A)\}[/mm],
> sowie
> [mm]V(A):=\{(A_n)_{n=1,...,N}:N \in \mathbb{N}, A_n \in R \ \mathrm{ und } \ A\subset \bigcup_{n=1}^{N}A_n\}[/mm],
>
> [mm]\mu^{\#}:=\inf\{\sum_{n=1}^{N}\mu(A_n):(A_n)_{n=1,...,N} \in V(A)\}.[/mm]
>
> Zeige: [mm]\mu^{\ast}(\mathbb{Q} \cap [0,1])=0<1=\mu^{\#}(\mathbb{Q}\cap [0,1]).[/mm]
>
> Folgere: [mm]$\mu^{\#}$[/mm] ist kein äußeres Maß.$
> Hallo,
>
> diese blöden Definitionen verwirren mich etwas. Die Menge
> [mm]U(A)[/mm] gibt ja die abzählbar unendlichen Überdeckungen an,
> während V(A) endliche Überdeckungen enthält.
> Wenn ich jetzt das [mm]$\mathbb{Q}[/mm] Intervall [0,1] mit
> abzählbaren Mengen überdecken kann, so wäre doch
> sicherlich eine Überdeckung einfach gegeben durch die
> Vereinigung der Intervalle der Form [a,a] mit rationalen
> Zahlen a. Von jedem dieser Intervalle ist das *-Maß 0,
> also das Infimum auch. Da das Maß immer positiv ist, muss
> 0 die größte untere Schranke sein. Damit wäre doch
> [mm]$\mu^{\ast}(\mathbb{Q} \cap[/mm] [0,1])=0$ gezeigt, oder ist das
> so ganz falsch?
> Wenn ich [0,1] endlich überdecken soll, dann geht das
> natürlich nur mit Intervallen der Form [mm][a,b), a
> man die Längen aller dieser Teilintervalle addiert, muss
> man natürlich auf 1 kommen. Kann (Sollte) man das noch
> formaler machen?
>
> Aber warum ist nun [mm]$\mu^{\#}[/mm] kein äußeres Maß? Ich
> weiß, dass [mm]$\mu^{\ast}$[/mm] ein äußeres Maß ist.
> Wahrscheinlich ist die Subadditivität nicht erfüllt, aber
> das sehe ich noch nicht so ganz ein.
Die Rolle von R in der Geschichte ist mir nicht ganz klar. Ich vermute aber mal, dass hier nur Überdeckungen mit Intervallen der Länge >0 betrachtet werden.
In jedem Fall ist es so: Wenn [mm] Q\cap[0,1] [/mm] mit endlich vielen Intervallen überdeckt wird, ist auch das Komplement der Überdeckung eine endliche Vereinigung von Intervallen. Da die rationalen Zahlen dicht liegen, folgt daraus, dass das Komplement höchstens aus endlich vielen einzelnen Punkten bestehen kann und damit [mm] \sum_{n=1}^{N}\mu(A_n)\ge [/mm] 1 gelten muss.
Werden abzählbare Überdeckungen betrachtet, so lässt sich eine Abzählung [mm] (q_n) [/mm] von [mm] Q\cap[0,1] [/mm] wählen.
Damit kann man zu gegebenem [mm] \epsilon>0 [/mm] eine Überdeckung [mm] A_n=(q_n-2^n\epsilon, q_n+2^n\epsilon) [/mm] betrachten. Es folgt [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\le 2\epsilon
[/mm]
Dass [mm] \mu^{\#} [/mm] kein äußeres Maß ist, folgt daraus, dass die [mm] \sigma-Additivität [/mm] verletzt ist:
Es ist [mm] \mu^{\#}(\cup_{n\ge 1}\{q_n\})=1>\sum_{n\ge 1}\mu^{\#}(\{q_n\})=0
[/mm]
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