Äußeres Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 10.04.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] seine Maße auf einem Ring R. Zeigen Sie:
(a) [mm] (\mu [/mm] + [mm] \nu)^{\*} [/mm] = [mm] \mu^\* [/mm] + [mm] \nu^\*
[/mm]
(mit [mm] \* [/mm] wird das äußere Maß gekennzeichnet) |
kann mir hier jemand weiter helfen?
ich weiß gar nicht wie ich mir eine addition von maßen vorstellen soll.
es gäbe einem punkt b, den kann ich aber nur machen wenn ich a verstanden habe, deswegen werd ich es damit mal lassen.
wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte
grüße
fe11x
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] seine Maße auf einem Ring R. Zeigen Sie:
>
> (a) [mm](\mu[/mm] + [mm]\nu)^{\*}[/mm] = [mm]\mu^\*[/mm] + [mm]\nu^\*[/mm]
> (mit [mm]\*[/mm] wird das äußere Maß gekennzeichnet)
> kann mir hier jemand weiter helfen?
> ich weiß gar nicht wie ich mir eine addition von maßen
> vorstellen soll.
Wir nehmen mal folgende Definition (falls diese nicht zutrifft, solltest du eure Definition hinschreiben!):
-----
Sei R ein Ring über [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $\mu: [/mm] R [mm] \to \overline{\IR}$ [/mm] ein Maß. Dann heißt
[mm] \mu^{\*}: Pot(\Omega) \to \overline{\IR}, \mu^{\*}(A) [/mm] = [mm] \inf\Big\{ \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n): B_n \in R \mbox{ mit } A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\Big\}
[/mm]
das zu [mm] $\mu$ [/mm] gehörende äußere Maß (mit [mm] $\inf \emptyset [/mm] = [mm] \infty$).
[/mm]
-----
Das bedeutet, ein äußeres Maß ist eine Abbildung nach [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] und es lässt sich auf ganz natürliche Weise eine Addition definieren:
[mm] $(\mu^{\*} [/mm] + [mm] \nu^{\*})(A) [/mm] := [mm] \mu^{\*}(A) [/mm] + [mm] \nu^{\*}(A)$,
[/mm]
genauso wie bei Maßen:
[mm] $(\mu [/mm] + [mm] \nu)(A) [/mm] := [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \nu(A)$.
[/mm]
Du sollst nun aber etwas zeigen, was die Operation [mm] $^{\*}$ [/mm] betrifft.
Um (a) zu zeigen, nimm eine beliebige Menge $A [mm] \subset \Omega$ [/mm] und zeige:
[mm] (\mu [/mm] + [mm] \nu)^{\*}(A) [/mm] = [mm] \mu^{\*}(A) [/mm] + [mm] \nu^{\*}(A)
[/mm]
Dafür solltest du dir als erstes beide Seiten mal mit der obigen Definition aufschreiben. Manchmal kann es hilfreich sein, statt "$=$" die beiden Richtungen [mm] "$\le$" [/mm] und [mm] "$\ge$" [/mm] zu behandeln.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
