Äusseres Mass < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:51 Di 18.11.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]A= \IQ \cap [0,1][/mm], [mm] \lambda [/mm] das Lebesguesche Prämaß auf [mm] \mathcal{I}, \lambda* [/mm] das zugehörige äussere Maß und [mm] \epsilon [/mm] > 0
Wir nehmen eine Abzählung [mm] (r_n)_{n \in \IN} [/mm] von A vor und wählem zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] A_n \in \mathcal{I} [/mm] mit [mm] r_n \in A_n [/mm] , [mm] \lambda(A_n) [/mm] < [mm] \epsilon 2^{-n} [/mm] dann folgt:
0 [mm] \le \lambda*(A) \le \summe_{n=1}^{\infty} \epsilon 2^{-n} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
also [mm] \lambda*(A) [/mm] = 0
würde man [mm] \lambda**(A)=inf\{\summe_{n=1}^{i}\lambda(A_n): A_n \in \mathcal{I}, A \subseteq \bigcup_{n=1}^{i}A_n} [/mm] dann ist in diesem Beispiel
[mm] \lambda**(A) [/mm] = 1
Frage:
in dem Buch steht: hätte man bei der Difiniton des äusseren Masses nur mit einer endlichen Überdeckung gearbeitet, dann ergebe die Infinumbildung den Wert 1.
Warum ist dies so?
vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Di 18.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich nehme an [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] ist irgendwie der Halbring (?) der Intervalle oder sowas...
Jedenfalls, wenn du eine endliche Überdeckung [mm] $(A_i)_{i=1}^n\subset\mathcal{I}$ [/mm] von [mm] $\IQ\cap [/mm] [0,1]$ hast, dann ist (!), weil [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] ist, jede reelle Zahl [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] auch in [mm] $A:=\bigcup_{i=1}^n A_i$, [/mm] also insbesondere [mm] $[0,1]\subset [/mm] A$ und damit wegen der Monotonie des Inhalts/Maßes (wie auch immer...) [mm] $\mu(A)\ge\mu([0,1])=1$.
[/mm]
So ganz stimmt das natürlich noch nicht, denn in [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] liegen wahrscheinlich auch irgendwie offene Intervalle und so, dann ist ja z.B. auch [mm] $[0,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},1]$ [/mm] eine Überdeckung von [mm] $\IQ\cap[0,1]$, [/mm] die nicht jede reelle Zahl enthält... aber wahrscheinlich liegen nur endlich viele (oder abzählbar viele?) nicht drin... ich denke die Lücken kannst du ja selbst noch füllen 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Di 18.11.2008 | | Autor: | vivo |
danke!
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