äußere lebesgue-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Sa 17.10.2009 | | Autor: | daisy23 |
| Aufgabe 1 | | Es sei [mm] m^{\*} [/mm] das äußere Lebesgue-Maß im [mm] \IR^{2} [/mm] und [mm] K:=\{(x,y)\in \IR^{2}: x^{2}+y^{2}=1, y\ge 0\}. [/mm] Beweisen Sie anhand der Definition des äußeren Maßes: [mm] m^{\*}(K)=0. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie: Jede offene Menge [mm] M\subseteq \IR^{n} [/mm] ist abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen. |
Hallo,
Ich brauche dringend Hilfe. Ich weiß nicht wie ich mit diesen Aufgaben klar kommen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Es sei [mm]m^{\*}[/mm] das äußere Lebesgue-Maß im [mm]\IR^{2}[/mm] und
> [mm]K:=\{(x,y)\in \IR^{2}: x^{2}+y^{2}=1, y\ge 0\}.[/mm] Beweisen
> Sie anhand der Definition des äußeren Maßes:
> [mm]m^{\*}(K)=0.[/mm]
Wie habt ihr $m^*$ definiert? Ich arbeite mal mit folgender Definition:
[mm] $\lambda(M) =\inf\left\{\sum_i | I_i |;\ \ M\subseteq \bigcup_i I_i\right\}$,
[/mm]
wobei [mm] I_i [/mm] reelle Intervalle sind.
Jetzt brauchst Du eine Folge von Überdeckungen von K, deren Maß gegen 0 konvergiert.
Z.B. mit Quadraten. Du setzt den Mittelpunkt des ersten Quadrats bei (-1,0) und den des nächsten jeweils dort, wo die Kurve das alte Quadrat verläßt. Wenn Du die Seitenlängen halbierst, steigt die Anzahl der benötigten Quadrate linear, aber ihr Flächeninhalt sinkt im Quadrat.
> Beweisen Sie: Jede offene Menge [mm]M\subseteq \IR^{n}[/mm] ist
> abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen.
Offene Menge heißt, daß Du um jeden Punkt [mm] $m\in [/mm] M$ eine Kugel [mm] $B_\delta(m)$, [/mm] mit Radius [mm] $\delta>0$, [/mm] legen kannst mit [mm] $B_\delta(m)\subseteq [/mm] M$.
Weil [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt, kannst Du statt [mm] $\delta>0$ [/mm] auch [mm] $\delta\in\IQ\cap (0,\infty)$ [/mm] fordern.
Und [mm] $\IQ^n$ [/mm] ist ein dichtes Gitter in [mm] $\IR^n$ [/mm] mit nur abzählbar vielen Gitterpunkten [mm] ($\IQ$ [/mm] ist abzählbar, also auch [mm] $\IQ^n$).
[/mm]
Aus beidem zusammen kannst Du die Behauptung folgern.
ciao
Stefan
|
|
|
|
