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| Aufgabe | Seien M,N nichtleere Mengen und f : M -> N eine surjektive Abbildung
1) Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift
x [mm] \sim [/mm] y: [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(y) , x,y [mm] \in [/mm] M
eine Äquivalenzrelation erklärt wird.
2) (Und jetzt kommts:) Wir bezeichnen mit [mm] M/\sim [/mm] die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der in 1) definierten Äquivalenzrelation. Zeigen Sie daß dann durch
f1: [mm] M/\sim \to [/mm] N , f1([m]):=f(m)
eine bijektive Abbildung definiert wird.
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Also bei eins denk ich mir z.B mal eine sinus Funktion, dann wären alle nullstellen eine Äquivalenzklasse.Das ist dann transitiv,symmetrisch und reflexiv, oder?
Aber bei 2)??? Bijektiv heißt doch: alle y werden verrechnet und jedes y wird nur einmal verrechnet. außerdem fordert abbildung: alle x werden nur einmal abgebildet. mir sagt auch f1([m]) genau nichts, finde es auch in meinem tonnenschweren almanach nicht!
(Frage noch nicht wo anders gestellt)
Danke
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Hallo MatheFrager,
> Seien M,N nichtleere Mengen und f : M -> N eine surjektive
> Abbildung
> 1) Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift
>
> x [mm]\sim[/mm] y: [mm]\gdw[/mm] f(x) = f(y) , x,y [mm]\in[/mm] M
> eine Äquivalenzrelation erklärt wird.
Was ist denn eine Äquivalenzrelation?
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $\ M $ ist eine Relation $\ R [mm] \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M = [mm] \{ (x,y) \in R : x \sim y \} [/mm] $
für die folgendes Erfüllt wird:
Ä1: Reflexivität: $\ ( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M)(x,x) [mm] \in [/mm] R $
Ä2: Symmetrie: $\ (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R$
Ä2: Transitivität: $\ [mm] \left((x,y) \in R \right) \wedge \left((y,z) \in R \right) \Rightarrow [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] R $
Wir wollen zeigen, dass für $\ x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(y) $ alle drei Eigenschaften erfüllt werden.
Die Relation ist offensichtlich Reflexiv, weil sich für jedes $\ x [mm] \in [/mm] M $ solche Paare $\ (x, x) [mm] \in [/mm] R $ finden lassen.
Symmetrie wird ebenfalls erfüllt, denn durch die Gleichheit in $\ f(x) = f(y) $ gilt die Relation sowohl für $\ (x,y) $ als auch $\ (y,x) $.
Wie sieht's mit der Transitivität aus?
> 2) (Und jetzt kommts:) Wir bezeichnen mit [mm]M/\sim[/mm] die
> Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der in 1)
> definierten Äquivalenzrelation. Zeigen Sie daß dann
> durch
> f1: [mm]M/\sim \to[/mm] N ,
> f1([m]):=f(m)
> eine bijektive Abbildung definiert wird.
>
>
> Also bei eins denk ich mir z.B mal eine sinus Funktion, dann wären alle nullstellen eine Äquivalenzklasse.Das ist dann transitiv,symmetrisch und reflexiv, oder?
> Aber bei 2)??? Bijektiv heißt doch: alle y werden verrechnet und jedes y wird nur einmal verrechnet. außerdem fordert abbildung: alle x werden nur einmal abgebildet. mir sagt auch f1([m]) genau nichts, finde es auch in meinem tonnenschweren almanach nicht!
 bijektiv bedeutet, dass eine Abbildung sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.
Mach dich mit den Definitionen vertraut und versuche, deine Aussagen ausschliesslich mit Hilfe der Definitionen zu begründen.
Zur Menge der Äquivalenzklasse:
Durch eine Äquivalenzrelation wird eine/unsere Menge $\ M $ so in paarweise Disjunkte Teilmengen $\ T $ geteilt bzw partitioniert, dass jedes Element aus einer solchen Teilmenge $\ T $ in immer nur einer Teilmenge $\ T $ von $\ M $ enthalten sein darf. So eine Mengenpartition sieht man häufig als $\ [mm] \mathfrak [/mm] P $.
Damit meine ich, dass die auf $\ M $ definierte Äquivalenzrelation eine ![[]](/images/popup.gif) Partition $\ [mm] \mathfrak [/mm] P $ erzeugt, dass $\ [mm] \mathfrak [/mm] P $ alle Teilmengen $\ T $ von $\ M $ enthält. Und jedes dieser $\ T $ enthält eben genau die Elemente, die in Relation zueinander stehen. Diese $\ T $ sind dann die Äquivalenzklassen ihrer Elemente, die sie enthalten.
Ich hoffe, dass dir damit geholfen ist.
> (Frage noch nicht wo anders gestellt)
> Danke
Viele Grüße
ChopSuey
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Danke erstmal! Was bedeutet die Notation f1([m]):=f(m) ?????
Und was genau ist die Menge aller Äquivalenzklassen???? Wie groß ist ihre Mächtigkeit ? Da es eine Menge ist und alle auf f(m) abgebildet werden, kann dies doch nicht bijektiv sein, bijektiv heißt doch "jeder Bildpunkt ein Original" in erster Linie , oder?
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> Danke erstmal! Was bedeutet die Notation f1([m]):=f(m) ?????
> Und was genau ist die Menge aller Äquivalenzklassen????
> Wie groß ist ihre Mächtigkeit ? Da es eine Menge ist und alle
> auf f(m) abgebildet werden, kann dies doch nicht bijektiv sein,
> bijektiv heißt doch "jeder Bildpunkt ein Original" in erster Linie , oder?
[m] ist die Äquivalenzklasse, in welcher ein
(beliebiges) Element m der Menge M liegt,
also die Menge aller [mm] x\in [/mm] M mit f(x)=f(m)
f1 ist die von f induzierte Abbildung, welche statt
auf M auf der Menge [mm] M_1=M/\,\sim [/mm] definiert ist
M1 ist die Menge aller Äquivalenzklassen. Hat die
Menge N zum Beispiel genau 5 Elemente, so gibt
es genau 5 Äquivalenzklassen, die zusammen
die Menge M bilden.
Stelle dir das Ganze anschaulich vor. Du hast eine
Abbildung von M nach N, die surjektiv ist. Dies
bedeutet, dass zu jedem Element n in N mindestens
ein Funktionspfeil führt.
Nun fasst du jeweils alle Elemente der Menge M,
deren (für jedes solche Element einziger) Pfeil
zum Element n zeigt, zu einer Menge U(n) zusammen.
U(n) ist die Menge aller Urbildpunkte des Elementes n.
Wenn du dies für alle Elemente [mm] n\in [/mm] N tust, hast du
die Menge M säuberlich aufgeteilt in genau so viele
disjunkte und nicht leere Teilmengen, wie N
Elemente enthält. Jede solche Teilmenge ist eine
Äquivalenzklasse bezüglich der Relation R.
Mit den obigen Bezeichnungen können wir
schreiben:
$\ [mm] M_1=\{U(n)\ |\ n\in N\}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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Gut erklärt-Danke!!!!
Nur der Formalismus........wie schreibt man das???!!!
Der Prof. hat sich da bisher echt bedeckt gehalten-verlangt aber , dass man das lösen kann!!!!
lg
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> Nur der Formalismus........wie schreibt man das???!!!
Hallo,
Deine Frage ist etwas vage...
Bei 1) ist zu zeigen
a. reflexiv, dh es ist [mm] x\sim [/mm] x für alle x
Beweis: sei [mm] x\in [/mm] M. Es ist f(x)=f(x) <==> [mm] x\sim [/mm] x. fertig.
b.) symmetrisch, dh [mm] x\sim [/mm] y ==> [mm] y\sim [/mm] x.
Bew.: seien x,y [mm] \in [/mm] M mit [mm] x\sim [/mm] y ==> ... Immer streng nach Definition arbeiten.
c) transitiv, dh [mm] x\sim [/mm] y und [mm] y\sim [/mm] z ==> [mm] x\sim [/mm] z.
Beweis: es seine x,y,z [mm] \in [/mm] M mit [mm] x\sim [/mm] y und [mm] y\sim [/mm] z ==> ???
In Aufgabe 2) sollst Du zeigen:
Durch
[mm] f_1:$ M/\sim \to [/mm] $ N
[mm] f_1([/mm] [m]):=f(m)
wird eine bijektive Abbildung definiert.
Hierfür ist dreierlei zu zeigen
1. Wohldefiniertheit, hier: Unabhängigkeit vom Repräsentanten der Restklasse
Zeige hierfür: wenn [m]=[n], so ist [mm] f_1[/mm] [m][mm] =f_1[n] [/mm]
2. Injektivität, dh ???
3. Surjektivität, dh. ???
So, nun wollen wir mal ein bißchen was sehen.
Gruß v. Angela
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