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| Aufgabe | für (x1, y1) und (x2, y2) [mm] \in [/mm] R x R gilt:
(x1, y1) [mm] \sim [/mm] (x2, y2) : [mm] \gdw [/mm] x1² + y1² = x2² + y2²
Zeige dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist |
Hallo,
also erstmal für die reflexivität. Ich muss zeigen dass x1 mit sich selbst in relation steht. x [mm] \in [/mm] R , (x1,x1) [mm] \in \sim
[/mm]
Ich verstehe nicht wie ich das beweisen soll. weil x1² + y1² = x2² + y2². Und x1 ist ja nicht gleich x2 ??!
Könnt ihr mir helfen?
danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> für (x1, y1) und (x2, y2) [mm]\in[/mm] R x R gilt:
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> (x1, y1) [mm]\sim[/mm] (x2, y2) : [mm]\gdw[/mm] x1² + y1² = x2² + y2²
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> Zeige dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation ist
> Hallo,
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> also erstmal für die reflexivität. Ich muss zeigen dass
> x1 mit sich selbst in relation steht. x [mm]\in[/mm] R , (x1,x1)
> [mm]\in \sim[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast es hier miteiner Äquivalenzrelation auf [mm] \IR\times \IR [/mm] zu tun.
Für die Reflexivität mußt Du vormachen, daß jedes Zahlenpaar [mm] (x_1,y_1) [/mm] in Relation zu sich selber steht, daß also [mm] (x_1, y_1)\sim (x_1, y_1) [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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> Ich verstehe nicht wie ich das beweisen soll. weil x1² +
> y1² = x2² + y2². Und x1 ist ja nicht gleich x2 ??!
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> Könnt ihr mir helfen?
> danke im vorraus.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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ja das weiß ich. aber wie kann ich zeigen x1,y1 auf sich selbst abgebildet werden, wenn sie doch auf x2² + y2² abgebildet werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mi 16.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Also ich schreibe dir einfach mal hinn was da unten eigendlich steht.
(x1, y1) [mm] \sim [/mm] (x2, y2) : [mm] \gdw [/mm] x1² + y1² = x2² + y2²
(x1, y1) ist Äquivalent zu (x2, y2) genau dann wenn gilt:
x1² + y1² = x2² + y2²
Ist nun also (x1,y1) Äquivalent zu sich selbst also zu (x1, y1) ?
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Ok. Also reicht es wenn es die gleichung erfüllt? Also wenn ich x1= x2 und y1 = y2 einsetze wäre die gleichung erfüllt und x1,y1 äquivalent zu sich selber.
Also es muss nicht so sein dasss x1 immer =x2 ist? Weil das stimmt ja nicht
x1= 1, y2= 1; x2=0 [mm] y2=\wurzel{2}
[/mm]
Erfüllt auch die gleichung aber dann wäre es ja nciht äquivalent zu sich selber?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Also reicht es wenn es die gleichung erfüllt? Also
> wenn ich x1= x2 und y1 = y2 einsetze wäre die gleichung
> erfüllt und x1,y1 äquivalent zu sich selber.
Ja, es gilt:
[mm] (x_1,y_1) \sim (x_1,y_1)
[/mm]
> Also es muss nicht so sein dasss x1 immer =x2 ist? Weil das
> stimmt ja nicht
>
> x1= 1, y2= 1; x2=0 [mm]y2=\wurzel{2}[/mm]
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> Erfüllt auch die gleichung aber dann wäre es ja nciht
> äquivalent zu sich selber?!
(1,1) ist äqivalent zu sich selbst.
(1,1) ist aber auch äqivalent zu (0, [mm] \wurzel{2})
[/mm]
FRED
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Ok, danke.
Jetzt die symmetie:
aus (x1,y1) folgt (y1,x1). Das erfüllt ja die gleichung für x2=y1 und y2=x1. ALso ist es symmetrisch.
Wie schreibe ich dann dass es reflexiv und symmetrisch ist so formal als beweis auf?
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> Jetzt die symmetie:
> aus (x1,y1) folgt (y1,x1). Das erfüllt ja die gleichung
> für x2=y1 und y2=x1. ALso ist es symmetrisch.
Hallo,
mich dünkt, Du bist irgendwie auf dem falschen Dampfer.
Nochmal: die Elemente, bei denen wir darüber befinden müssen, ob sie in Relation zueinander stehen, sind Elemente des [mm] \IR\times \IR.
[/mm]
Bei der Symmetrie ist zu untersuchen, ob aus [mm] (x_1,y_1)\sim (x_2,y_2) [/mm] folgt, daß [mm] (x_2, y_2)\sim (x_1,y_1).
[/mm]
> Wie schreibe ich dann dass es reflexiv und symmetrisch ist
> so formal als beweis auf?
Reflexivität:
Sei [mm] (x_1,y_1)\in \IR\times \IR.
[/mm]
Es gilt ..., also ist [mm] (x_1,y_1)\sim (x_1, y_1)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Also
Reflexivität
Sei (x1,y1) [mm] \in \IR [/mm] x [mm] \IR
[/mm]
(x1, y1) [mm] \sim [/mm] (x1,y1) [mm] :\Rightarrow [/mm] x1² + y1² = x1² + y1²
Da diese Gleichung stimmt folgt draus: (x1, y1) [mm] \sim [/mm] (x1,y1)
Symmetrie:
Seien (x1, y1) und (x2,y2) [mm] \in \IR [/mm] x [mm] \IR
[/mm]
(x2, y2) [mm] \sim [/mm] (x1,y1) : [mm] \Rightarrow [/mm] x2² + y2² = x1² + y1²
Gleichung geht auf. Somit: (x2, y2) [mm] \sim [/mm] (x1,y1)
Richtig so?
FÜr die Transitivität muss ich jetzt zeigen, dass wenn x in relation mit y steht, und y in relation mit z, dass auch x dann in relation mit z steht.
ich weiß nur nicht wie ich sowas mit nem tupel mache?
vielen dank für eure hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mi 16.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
> Also
> Reflexivität
>
> Sei (x1,y1) [mm]\in \IR[/mm] x [mm]\IR[/mm]
> (x1, y1) [mm]\sim[/mm] (x1,y1) [mm]:\Rightarrow[/mm] x1² + y1² = x1² +
> y1²
> Da diese Gleichung stimmt folgt draus: (x1, y1) [mm]\sim[/mm]
> (x1,y1)
>
>
> Symmetrie:
> Seien (x1, y1) und (x2,y2) [mm]\in \IR[/mm] x [mm]\IR[/mm]
> (x2, y2) [mm]\sim[/mm] (x1,y1) : [mm]\Rightarrow[/mm] x2² + y2² = x1² +
> y1²
> Gleichung geht auf. Somit: (x2, y2) [mm]\sim[/mm] (x1,y1)
>
> Richtig so?
>
> FÜr die Transitivität muss ich jetzt zeigen, dass wenn x
> in relation mit y steht, und y in relation mit z, dass auch
> x dann in relation mit z steht.
> ich weiß nur nicht wie ich sowas mit nem tupel mache?
>
> vielen dank für eure hilfe!
Was bedeutet es für diese konkrete relation wenn x in relation zu y steht und y in relation zu z?
Schreib dir das auf.
Dann schreib auf was gelten muss, damit
x in relation zu z steht.?
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(x1,y1) [mm] \sim [/mm] (x2, y2) [mm] \wedge [/mm] (x2,y2) [mm] \sim [/mm] (x3,y3)
[mm] \Rightarrow [/mm] (x1,y1) [mm] \sim [/mm] (x3,y3)
das ist zu zeigen?
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> (x1,y1) [mm]\sim[/mm] (x2, y2) [mm]\wedge[/mm] (x2,y2) [mm]\sim[/mm] (x3,y3)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x1,y1) [mm]\sim[/mm] (x3,y3)
>
> das ist zu zeigen?
Hallo,
ja.
Gruß v. Angela
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Ok also zu zeigen:
Aus (x1,y1) [mm] \sim [/mm] (x2,y2) und (x2,y2) [mm] \sim [/mm] (x3,y3) folgt (x1,y1) [mm] \sim [/mm] (x3,y3).
1. (x1,y1) [mm] \sim [/mm] (x2,y2) : [mm] \Rightarrow [/mm] x1² + y1² = x2² + y2² [mm] \gdw [/mm]
x2² + y2² = x1² + y1² (*)
2. (x2,y2) [mm] \sim [/mm] (x3, y3) : [mm] \Rightarrow [/mm] x2² + y2² = x3² + y3² (* einsetzen) [mm] \Rightarrow [/mm] x1² + y1² = x3² + y3²
Also: (x1,y1) [mm] \sim [/mm] (x3,y3) Die Relation ist transitiv.
Richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Fr 18.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mariecurry,
> Ok also zu zeigen:
>
> Aus (x1,y1) [mm]\sim[/mm] (x2,y2) und (x2,y2) [mm]\sim[/mm] (x3,y3) folgt
> (x1,y1) [mm]\sim[/mm] (x3,y3).
>
>
> 1. (x1,y1) [mm]\sim[/mm] (x2,y2) : [mm]\Rightarrow[/mm] x1² + y1² = x2² +
> y2² [mm]\gdw[/mm]
> x2² + y2² = x1² + y1² (*)
>
> 2. (x2,y2) [mm]\sim[/mm] (x3, y3) : [mm]\Rightarrow[/mm] x2² + y2² = x3²
> + y3² (* einsetzen) [mm]\Rightarrow[/mm] x1² + y1² = x3² +
> y3²
>
> Also: (x1,y1) [mm]\sim[/mm] (x3,y3) Die Relation ist transitiv.
>
> Richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
Viele Grüße
Tobias
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Cool! jetzt soll ich dazu noch die äquivalenzklassen bestimmen und graphisch darstellen. habt ihr da nen ansatz für mich?
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> Cool! jetzt soll ich dazu noch die äquivalenzklassen
> bestimmen und graphisch darstellen. habt ihr da nen ansatz
> für mich?
Hallo,
der Beginn einer jeden Überlegung muß die Klärung der Begriffe sein.
Wie ist denn "Äquivalenzklasse" definiert?
Wenn diese Frage geklärt ist, sollten wir uns zunächst mal exemplarisch irgendeine Äquivalenzklasse vornehmen.
Schauen wir uns also mal [(3,4)] an.
Definition? Gedanken? Kannst Du Paare sagen, die in dieser Äquivalenzklasse sind?
Gruß v. Angela
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