Äquivalenzrelation beweisen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 07.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
also ich zerbreche mir nun seit 2 Tagen den Kopf über folgender Aufgabe:
Sei [m] f : X \to Y[/m] ein Abbildung und ~ die Relation
[m](X,X, \{(x,y) \in X\timesX | f(x) = f(y) \})[/m].
Zeigen sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist. Beweisen sie zudem, dass ~ genau dann die identische Relation ist wenn f injektiv ist.
Man zeigt, dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, indem man die 3 Axiome der
1.Reflexivität(falls [m]\forall a \in A aRa[/m])
2.Transivität(falls [m]\forall a,b,c \in A aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc [/m])
3.Symetrie(falls [m]\foral a,b \in A (aRb) \Rightarrow (bRa)[/m])
zeigt. So lautet die Definition nun komme ich aber schon beim Ansatz nicht ganz klar ich habe mir folgendes überlegt:
1. [m]\forall (x,y) \in X\timesX xRx \wedge yRy[/m]
2. [m]\forall (x,y,z) \in X\timesX xRy, yRz \Rightarrow xRz[/m]
3. [m]\forall (x,y) \in X\timesX xRy = yRx[/m]
Also müssen diese Fälle gelten, damit es eine Relation gibt.
Sind die Aussagen richtig?
Reicht es diese Aussagen aufzuschreiben oder kann man sie auch noch beweisen?
Kann jemand was mit dem Zusatz anfangen?
Vielen Dank für jede Art von Hilfe
Gruß Shaguar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Shaguar,
also du hast eine Abbildung f gegeben und eine Äquivalenzrelation ~ mit [mm] [mm] {\forall (x,y) \in X |f(x) = f(y)}[/mm] [mm] was die beiden großen X,X dafür bedeuten weiß ich nicht, ist es richtig aufgeschrieben?
Aufjedenfall zeigst du z.B. die Reflexivität so:
das Element x steht zu sich selbst in relation, also muss gelten:
[mm] \forall (x,x) \in X xRx [/mm]
d.h. [mm] f(x)=f(x) [/mm] was selbstverständlich gilt.
nun zur Transitivität, es muss gelten:
[mm] \forall (x,y,z) \in X xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz [/mm]
d.h. [mm] f(x) = f(y) \wedge f(y) = f(z) \Rightarrow f(x) = f(z) [/mm]
nochmal in Worten: wenn f(x)=f(y) und f(y)=f(z) dann folgt daraus selbstverständlich, dass auch f(x)=f(z).
naja und die Symmetrie ist wohl auch klar oder?
Bei Fragen meld dich einfach nochmal. Gruß Toyo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:16 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
ja die Aufgabenstellung ist korrekt abgeschrieben XxX meint das kartesische Produkt. Aber du hast mir weitergeholfen.
Dankeschön. Hast aber keine Ahnung was mit dem Injektiv gemeint ist oder?
Gruß Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Moin Shaguar,
also eine Abbildung heißt injektiv,genau dann, wenn sie eindeutig umkehrbar ist.
Dies bedeutet,dass jedem Element des Definitionsbereichs nur auf genau ein Element des Wertebereichs abgebildet wird.
Einfaches Beispiel:
du hast zwei Mengen:
A={1,2,3,4} B={5,7,8,9}
und zwei Abbildungen a,b:die durch geordnete Paare dargestellt sind:
a={(1,5),(2,8)}
b={(1,5),(3,7),(4,7)}
Hier ist a Injektiv und b nicht, da bei b die 3 auf die 7 abgebildet wird und auch die 4 auf die 7 abgebildet wird. Wenn du Dir jetzt eine Umkehrfunktion zu b vorstellst ist nicht klar, worauf die 7 abgebildet werden soll.
alles klar soweit?
Gruß Toyo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 14.12.2004 | | Autor: | HOST |
Da für eine Abbildung die Totalität für den Definitionsbereich gilt, sind aus meiner Sicht weder a noch b eine Abbildung.
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