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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 30.10.2008 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | Auf den ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] sei für festes n [mm] \in \IN, n\ge2, [/mm] eine Relation ~ definiert durch
x~y :<=> x-y=nk für ein k [mm] \in [/mm] Z
a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
b)Sei [mm] \IZ [/mm] n die Menge der Äquivalenzklassen bzgl ~. Zeigen Sie, dass für x, y [mm] \in \IZ, [/mm]
[x]+[y] := [x+y]
[x]*[y] := [x*y]
wohldefinierte Operationen auf [mm] \IZ [/mm] n sind. |
Bei a) weiss ich, dass ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen muss - aber wie? Würde das z.B. gelten:
Reflexivität: x~x => x-x=0=nk für k=0 ??
Bei b) weiss ich garnicht was ich machen soll...
Würde mich über eine Hilfestellung sehr freuen.
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> Auf den ganzen Zahlen [mm]\IZ[/mm] sei für festes n [mm]\in \IN, n\ge2,[/mm]
> eine Relation ~ definiert durch
> x~y :<=> x-y=nk für ein k [mm]\in[/mm] Z
>
> a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
> b)Sei [mm]\IZ[/mm] n die Menge der Äquivalenzklassen bzgl ~. Zeigen
> Sie, dass für x, y [mm]\in \IZ,[/mm]
> [x]+[y] := [x+y]
> [x]*[y] := [x*y]
> wohldefinierte Operationen auf [mm]\IZ[/mm] n sind.
> Bei a) weiss ich, dass ich Reflexivität, Symmetrie und
> Transitivität zeigen muss - aber wie? Würde das z.B.
> gelten:
> Reflexivität: x~x => x-x=0=nk für k=0 ??
Hallo,
Ja.
Du solltest dann so schreiben:
Für jedes [mm] x\in \IZ [/mm] ist x-x=0=0*n ==> [mm] x\sim [/mm] x für jedes x.
>
> Bei b) weiss ich garnicht was ich machen soll...
Bei b) mußt Du sicherstellen, daß für [mm] [x_1]=[x_2] [/mm] und [mm] [y_1]=[y_2] [/mm] auch [mm] [x_1+y_1]=[x_2+y_2] [/mm] gilt,
für die andere Operation entsprechend.
Das Ergebnis der Addition darf ja nicht abhängig vom ausgewählten Repräsentanten der Restklasse sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Do 30.10.2008 | | Autor: | MosDef |
Danke Angela, sehr nett von Dir!
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