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| Aufgabe | Prüfen Sie nach, ob die angegebenen Relationen [mm] \sim [/mm] Äquivalenz- bzw. Ordnungsrelationen sind und bestimmen sie gegebenfalls die Äquivalenzklassen.
a) Für [mm] x,y\in\IZ [/mm] gelte [mm] x\sim y:\gdw|x|=|y|.
[/mm]
b) Für a,b [mm] \in\IN [/mm] gelte [mm] a\sim b:\gdw [/mm] a>b
c)Sei [mm] d\in\IN. [/mm] Für [mm] m,n\in\IZ [/mm] gelten [mm] m\simn:\gdw [/mm] d|(n-m).
Für [mm] a,b\in\IZ [/mm] bedeutet hierbei a|b, dass b durch a teilbar ist, d.h: Es gibt ein [mm] z\in\IZ [/mm] mit az=b. |
Hier sind meine Ansätze:
a) Ist eine Ordnungsrelation, denn:
Reflexiv:
[mm] a\sima:\gdw [/mm] |a|=|a| stimmt
Symmetrisch:
[mm] a\sim b:\gdw [/mm] |a|=|b| [mm] \gdw [/mm] |b|=|a| [mm] \gdw:b\sim [/mm] a (reicht das so, oder muss man da noch etwas anderes hinschreiben ?)
Transitiv:
[mm] a\sim [/mm] b, [mm] b\sim [/mm] c [mm] \Rightarrow a\sim [/mm] c
[mm] a\sim b:\gdw [/mm] |a|=|b| ^ [mm] b\sim c:\gdw|b|=|c| \gdw |a|=|c|:\gdw a\simc [/mm]
b) Ist keine Äquivalenzrelations, denn:
Transitiv: [mm] a\sim a:\gdw [/mm] a>a, stimmt nicht.
c) Ist eine Äquivalenzrelation:
Transitiv: [mm] n\sim n:\gdw [/mm]
dz=(n-n) [mm] \gdw [/mm] dz=0 [mm] \gdw [/mm] z=0. Also gibt es ein z, welches die Gleichung erfüllt.
Symmetrisch:
[mm] m\sim n:\gdw [/mm] dz=(n-m) [mm] \gdw [/mm] -dz=-(m+n) (hier weiss ich leider nicht mehr weiter, kann mir da jemand helfen ?)
Und allgemein hab ich noch Probleme mit den Äquivalenzklassen.
Kann mir da jemand ein gutes Beispielt geben bzw. erklären was Äquvialenzklassen sind und wie man diese bestimmt ?
In der Vorlesung habe ich das leider nicht verstanden.
Lg. Hellsing
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Di 22.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Prüfen Sie nach, ob die angegebenen Relationen [mm]\sim[/mm]
> Äquivalenz- bzw. Ordnungsrelationen sind und bestimmen sie
> gegebenfalls die Äquivalenzklassen.
>
> a) Für [mm]x,y\in\IZ[/mm] gelte [mm]x\sim y:\gdw|x|=|y|.[/mm]
>
> b) Für a,b [mm]\in\IN[/mm] gelte [mm]a\sim b:\gdw[/mm] a>b
>
> c)Sei [mm]d\in\IN.[/mm] Für [mm]m,n\in\IZ[/mm] gelten [mm]m\sim n:\gdw[/mm] d|(n-m).
> Für [mm]a,b\in\IZ[/mm] bedeutet hierbei a|b, dass b durch a
> teilbar ist, d.h: Es gibt ein [mm]z\in\IZ[/mm] mit az=b.
> Hier sind meine Ansätze:
>
> a) Ist eine Ordnungsrelation, denn:
>
> Reflexiv:
>
> [mm]a\sima:\gdw[/mm] |a|=|a| stimmt
>
> Symmetrisch:
>
> [mm]a\sim b:\gdw[/mm] |a|=|b| [mm]\gdw[/mm] |b|=|a| [mm]\gdw:b\sim[/mm] a (reicht das
> so, oder muss man da noch etwas anderes hinschreiben ?)
>
> Transitiv:
>
> [mm]a\sim[/mm] b, [mm]b\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow a\sim[/mm] c
>
> [mm]a\sim b:\gdw[/mm] |a|=|b| ^ [mm]b\sim c:\gdw|b|=|c| \gdw |a|=|c|:\gdw a\simc[/mm]
Hallo,
wenn eine Relation symmetrisch, refexiv und transitiv ist, dann ist sie eine ÄQUIVALENZrelation.
>
> b) Ist keine Äquivalenzrelations, denn:
>
> Transitiv: [mm]a\sim a:\gdw[/mm] a>a, stimmt nicht.
Falsch. Was du gerade bewiesen hast, ist die nicht geltende REFLEXIVITÄT.
>
> c) Ist eine Äquivalenzrelation:
>
> Transitiv: [mm]n\sim n:\gdw[/mm]
>
> dz=(n-n) [mm]\gdw[/mm] dz=0 [mm]\gdw[/mm] z=0. Also gibt es ein z, welches
> die Gleichung erfüllt.
>
Auch hier hast du gerade die Reflexivität gezeigt..
> Symmetrisch:
>
> [mm]m\sim n:\gdw[/mm] dz=(n-m) [mm]\gdw[/mm] -dz=-(m+n) (hier weiss ich
> leider nicht mehr weiter, kann mir da jemand helfen ?)
>
>
> Und allgemein hab ich noch Probleme mit den
> Äquivalenzklassen.
> Kann mir da jemand ein gutes Beispielt geben bzw.
> erklären was Äquvialenzklassen sind und wie man diese
> bestimmt ?
Eine Kommilitonin hat mir das vor 30 Jahren mal so erklärt:
In einem Laden stehen viele Waren im Regal (Schrauben, Schokolade, Kondome,...).
Alle Waren mit dem gleichen Preis gehören dann zur selben Äquivalenzklasse (wenn die Relation lautet: "a hat den gleichen Preis wie b").
Anderes Beispiel: Wir haben eine Menge von Geraden. Die Äquivalenzrelation werde beschrieben durch "a[mm]\siml[/mm] [mm]\sim[/mm]b genau dann, wenn die Gerade a parallel zur Geraden b ist".
Dann bilden alle Geraden, die zueinander parallel sind, eine Äquivalenzklasse.
Gruß Abakus
> In der Vorlesung habe ich das leider nicht verstanden.
>
> Lg. Hellsing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 22.01.2013 | | Autor: | davux |
Du solltest dir noch einmal genau anschauen, was du für Eigenschaften überprüfen sollst und wie. Du würfelst hier an einigen Stellen einiges durcheinander.
Mit einer Ordnungsrelation hast du eine Ordnung auf einer Menge und mit der Äquivalenzrelation eine Art Gleichheit. Wenn du viel Zeit hast, solltest du dich unbedingt überhaupt noch einmal mit den Begriffen kartesisches Produkt (Paarbildung, Tupel, Kreuzprodukt) und Relationen beschäftigen. Das lohnt sich. Ein einfaches Beispiel für eine Relation wäre die Besitzrelation. Mein Dozent hat damals in der Vorlesung Äquivalenzrelation auf verschiedene Weise versucht verständlich zu machen, z. B. mit Geschlechtern ("... hat dasgleiche Geschlecht wie ..."). So ist es ziemlich leicht:
- reflexiv: Waltraud hat dasgleiche Geschlecht wie Waltraud.
- symmetrisch: Waltraud hat dasgleiche Geschlecht wie Elfriede. Dann hat Elfriede dasgleiche Geschlecht wie Waltraud.
- transitiv: Waltraud hat dasgleiche Geschlecht wie Elfriede und Elfriede hat dasgleiche Geschlecht wie Dorothea, dann hat Waltraud dasgleiche Geschlecht wie Dorothea.
Auch die Äquivalenzklassen sind hier doch kaum ein Problem, oder?
Bezüglich Ordnungsrelation kenne ich eigentlich eher die Anordnungsaxiome und Halbordnung, was wir behandelt haben. Das kann man sich aber auch schnell überlegen oder nachschlagen. Dafür fällt mir auch eine Fülle an Beispielen ein, wo man die Eigenschaften nachweisen könnte. Auf jeden Fall müsstest du dir bei den Beispielen jedes Mal überlegen, ob die Relation irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Nehmen wir Mal eine Supermarktschlange und gehen davon aus, dass es eine saubere Reihe und kein Gedränge ist "... steht in der Schlange vor ...".
- irreflexiv: Waltraud steht nicht vor Waltraud.
- antisymmetrisch: Waltraud steht vor Elfriede. Dann steht Elfriede nicht vor Waltraud.
- transitiv: Waltraud steht vor Elfriede und Elfriede steht vor Dorothea. Dann steht Waltraud vor Dorothea.
Natürlich gehen wir davon aus, dass die Personen eine Menge bilden.
In der Mathematik gibt es auch zahlreiche Beispiele, aber die hast du ja zum Teil gerade vor dir.
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