Äquivalenzrelation < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 02.12.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Zwei Elemente g; h einer Gruppe (G; ° ) heißen konjugiert, in Zeichen
g - h, wenn es ein a € G gibt mit h = a ° g ° a^(-1). Zeigen Sie:
(a) Je zwei Transpositionen in Sn sind konjugiert. |
Guten Tag,
ich habe mir überlegt zu zeigen das jede Transposition in [mm] S_n [/mm] zu einer anderen konjugiert und daraufhin, das eine Transposition nicht zu zwei verschieden Transpositionen konjugieren kann.
Leider habe ich noch keinen Weg gefunden den ersten Teil zu beweisen. Das eine Transposition nicht zu zwei verschieden Transpositionen konjugieren kann, konnte ich mit Hilfe eines
Wiederspruchs beweis zeigen.
Wie muss ich vorgehen um z.z. da Transposition in [mm] S_n [/mm] zu einer anderen Konjogiert ?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 02.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zwei Elemente g; h einer Gruppe (G; ° ) heißen
> konjugiert, in Zeichen
> g - h, wenn es ein a € G gibt mit h = a ° g °
Du meinst wohl $g [mm] \sim [/mm] h$.
> a^(-1). Zeigen Sie:
> (a) Je zwei Transpositionen in Sn sind konjugiert.
>
> Guten Tag,
> ich habe mir überlegt zu zeigen das jede Transposition in
> [mm]S_n[/mm] zu einer anderen konjugiert und daraufhin, das eine
> Transposition nicht zu zwei verschieden Transpositionen
> konjugieren kann.
> Leider habe ich noch keinen Weg gefunden den ersten Teil zu
> beweisen. Das eine Transposition nicht zu zwei verschieden
> Transpositionen konjugieren kann, konnte ich mit Hilfe
> eines
> Wiederspruchs beweis zeigen.
Das glaube ich nicht. Jede Transposition ist mit jeder anderen konjugiert.
> Wie muss ich vorgehen um z.z. da Transposition in [mm]S_n[/mm] zu
> einer anderen Konjogiert ?
Ueberleg dir erstmal, wie [mm] $\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1}$ [/mm] aussieht. Du kannst ja [mm] $\tau$ [/mm] als [mm] $\pmat{ 1 & 2 & \dots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \dots & \tau(n) }$ [/mm] darstellen. Die Transposition [mm] $\sigma \circ\ [/mm] tau [mm] \circ \sigma^{-1}$ [/mm] kannst du auch in so einer Form darstellen.
Probier es mal mit einfachen Beispielen aus, dann bekommst du schnell eine Idee wie's geht. Und damit sollte die Aufgabe dann auch nicht mehr so schwer sein (du musst halt ein passendes [mm] $\sigma$ [/mm] basteln).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 02.12.2012 | | Autor: | Expo |
> Ueberleg dir erstmal, wie [mm]\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1}[/mm]
> aussieht. Du kannst ja [mm]\tau[/mm] als [mm]\pmat{ 1 & 2 & \dots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \dots & \tau(n) }[/mm]
> darstellen. Die Transposition [mm]\sigma \circ\ tau \circ \sigma^{-1}[/mm]
> kannst du auch in so einer Form darstellen.
[mm]\pmat{ 1 & 2 & \dots & n \\ \ a(\tau(a^{-1}(1))) & a(\tau(a^{-1}(2))) & \dots & a(\tau(a^{-1}(n)))) }[/mm]
>
> Probier es mal mit einfachen Beispielen aus, dann bekommst
> du schnell eine Idee wie's geht. Und damit sollte die
> Aufgabe dann auch nicht mehr so schwer sein (du musst halt
> ein passendes [mm]\sigma[/mm] basteln).
Also a darf nicht zu disjunkt zu [mm] \tau [/mm] sein, da sonst a ° [mm] \tau [/mm] ° a^(-1) = [mm] \tau, [/mm] weiter gilt
[mm] a(\tau(a^{-1}(n)))) [/mm] = n für [mm] \tau(n) [/mm] = n
Aber wie zeige ich nun das ich so jede beliebige Transposition in [mm] S_n [/mm] erzeugen kann
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:16 So 02.12.2012 | | Autor: | Expo |
> > Ueberleg dir erstmal, wie [mm]\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1}[/mm]
> > aussieht. Du kannst ja [mm]\tau[/mm] als [mm]\pmat{ 1 & 2 & \dots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \dots & \tau(n) }[/mm]
> > darstellen. Die Transposition [mm]\sigma \circ\ tau \circ \sigma^{-1}[/mm]
> > kannst du auch in so einer Form darstellen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & \dots & n \\ \ a(\tau(a^{-1}(1))) & a(\tau(a^{-1}(2))) & \dots & a(\tau(a^{-1}(n)))) }[/mm]
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> >
> > Probier es mal mit einfachen Beispielen aus, dann bekommst
> > du schnell eine Idee wie's geht. Und damit sollte die
> > Aufgabe dann auch nicht mehr so schwer sein (du musst halt
> > ein passendes [mm]\sigma[/mm] basteln).
>
> Also a darf nicht zu disjunkt zu [mm]\tau[/mm] sein, da sonst a °
> [mm]\tau[/mm] ° a^(-1) = [mm]\tau,[/mm] weiter gilt
> [mm]a(\tau(a^{-1}(n))))[/mm] = n für [mm]\tau(n)[/mm] = n
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> Aber wie zeige ich nun das ich so jede beliebige
> Transposition in [mm]S_n[/mm] erzeugen kann
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 02.12.2012 | | Autor: | Expo |
> > [mm]a(\tau(a^{-1}(n))))[/mm] = n für [mm]\tau(n)[/mm] = n
Ich sehe grade mir ist ein Fehler unterlaufen dies gilt natürlich nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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