Äquivalenzrelation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.)$R := M [mm] \times [/mm] M$ ist eine Äquivalenzrelation auf $M$. [mm] $\emptyset \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ ist symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv .
2.)Sei $G : M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung ($G$ wie Gesichtspunkt). Dann ist [mm] $\sim_G \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ definiert durch $m [mm] \sim_G [/mm] m'$ genau dann, wenn $G(m) = G(m'), eine Äquivalenzrelation.
Die Äquivalenzrelation [mm] $\sim_G$ [/mm] heisst Bildgleichheit bezüglich G.
(z.b. $G: [mm] \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} [/mm] : (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x-y$
oder $G: [mm] \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} [/mm] : (x,y) [mm] \mapsto x^2+y^2$)
[/mm]
3.) Sei $M$ eine Menge und $f: M [mm] \to [/mm] M$ eine Abbildung von $M$ in sich. [mm] $\sim$ [/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert durch $m [mm] \sim [/mm] n$ für $m,n [mm] \in [/mm] M$, falls natürlichen Zahlen $a,b [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] existieren mit [mm] $f^a(m) [/mm] = [mm] f^b(n)$.
[/mm]
Diese Äquivalenzrelation teilt die Menge $M$ in Teilmengen auf, die durch $f$ wieder in sich abgebildet werden, man könnte von Komponenten der Abbildung sprechen. |
Hi,
obige 3 Aussagen bereiten mir Kopfzerbrechen. Ich lerne gerade für meine Zwischenprüfung LAI / LA II und arbeite daher das gehasste Skript durch.
(ich sage nur: RWTH Professor P.) ;)
Klar ist: Eine Relation $R$ heisst Äquivalenzrelation wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
zu 1.) warum soll das kreuzprodukt nicht reflexiv sein? und warum, sollte es tatsächlich nicht reflexiv sein, liegt dann eine Äquivalenzrelation vor?
zu 2.) Kann das bitte jemand anschaulich erklären? Was soll die Bildgleichheit bzgl. G sein?
zu 3.) ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mi 27.01.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> 1.)[mm]R := M \times M[/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm]M[/mm].
> [mm]\emptyset \subset M \times M[/mm] ist symmetrisch, transitiv,
> aber nicht reflexiv .
>
>
> 2.)Sei $G : M [mm]\to[/mm] N$ eine Abbildung ($G$ wie
> Gesichtspunkt). Dann ist [mm]$\sim_G \subseteq[/mm] M [mm]\times[/mm] M$
> definiert durch $m [mm]\sim_G[/mm] m'$ genau dann, wenn $G(m) =
> G(m'), eine Äquivalenzrelation.
> Die Äquivalenzrelation [mm]\sim_G[/mm] heisst Bildgleichheit
> bezüglich G.
> (z.b. [mm]G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x-y[/mm]
>
> oder [mm]G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x^2+y^2[/mm])
>
>
> 3.) Sei [mm]M[/mm] eine Menge und [mm]f: M \to M[/mm] eine Abbildung von [mm]M[/mm] in
> sich. [mm]\sim[/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm]M[/mm] definiert
> durch [mm]m \sim n[/mm] für [mm]m,n \in M[/mm], falls natürlichen Zahlen
> [mm]a,b \in \mathbb{N}[/mm] existieren mit [mm]f^a(m) = f^b(n)[/mm].
> Diese
> Äquivalenzrelation teilt die Menge [mm]M[/mm] in Teilmengen auf,
> die durch [mm]f[/mm] wieder in sich abgebildet werden, man könnte
> von Komponenten der Abbildung sprechen.
> obige 3 Aussagen bereiten mir Kopfzerbrechen. Ich lerne
> gerade für meine Zwischenprüfung LAI / LA II und arbeite
> daher das gehasste Skript durch.
> (ich sage nur: RWTH Professor P.) ;)
Der Mensch soll nicht hassen, sondern lieben.
> Klar ist: Eine Relation [mm]R[/mm] heisst Äquivalenzrelation wenn
> sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
>
> zu 1.) warum soll das kreuzprodukt nicht reflexiv sein? und
> warum, sollte es tatsächlich nicht reflexiv sein, liegt
> dann eine Äquivalenzrelation vor?
Wie heißt es bei Loriot? Sie müssen schon gaaaanz genau hinschauen. Das Kreuzprodukt soll eine Ä-Rel., also auch reflexiv, sein. Die leere Menge ist nicht reflexiv! Es sei denn, M ist leer.
> zu 2.) Kann das bitte jemand anschaulich erklären? Was
> soll die Bildgleichheit bzgl. G sein?
In der Urbildmenge sollen 2 Elemente äquivalent sein, wenn sie das gleiche Bild in N haben. Vielleicht sollte man besser sagen: dasselbe Bild.
> zu 3.) ???
Daran kann man noch mal alles üben, was zu den Ä-Relationen gehört, also überlasse ich die Ausführung des Beweises von r, s und t, die Beschreibung dieser ominösen Mengen (Was bietet sich da an?) und den Nachweis, daß sie auf sich abgebildet werden, vorerst dir. Irgend ein Ansatz sollte schon kommen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Dieter hat hier ja schon was zu geschrieben.
> 2.)Sei $G : M [mm]\to[/mm] N$ eine Abbildung ($G$ wie
> Gesichtspunkt). Dann ist [mm]$\sim_G \subseteq[/mm] M [mm]\times[/mm] M$
> definiert durch $m [mm]\sim_G[/mm] m'$ genau dann, wenn $G(m) =
> G(m'), eine Äquivalenzrelation.
> Die Äquivalenzrelation [mm]\sim_G[/mm] heisst Bildgleichheit
> bezüglich G.
> (z.b. [mm]G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x-y[/mm]
> oder [mm]G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x^2+y^2[/mm])
Hier hast du doch zwei Beispiele! Schau dir das ganze doch mal in dem Fall an!
Nehmen wir die zweite Funktion, welche $(x, y)$ auf [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] abbildet. (Merke: das ist die euklidische Norm des Vektors $(x, y)$ im [mm] $\IR^2$, [/mm] jedoch quadriert.)
Wann haben zwei Punkte $(x, y)$ und $(x', y')$ das selbe Bild? Also wann gilt $G(x, y) = G(x', y')$? Oder anders gesagt, wann gilt $(x, y) [mm] \sim_G [/mm] (x', y')$?
Wegen meiner Bemerkung ist dies genau dann der Fall, wenn die Vektoren $(x, y)$ und $(x', y')$ die gleiche Laenge haben! Daraus folgt: die Aequivalenzklasse von $(x, y)$ bzgl. [mm] $\sim_G$ [/mm] ist die Menge aller Vektoren im [mm] $\IR^2$, [/mm] welche die gleiche Laenge wie $(x, y)$ haben -- also ein Kreis um den Ursprung mit Radius [mm] $\|(x, y)\|_2$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Nun zum anderen Beispiel, wo $G(x, y) = x - y$ ist. Hier haben zwei Vektoren $(x, y)$ und $(x', y')$ das gleiche Bild, wenn $x - y = x' - y'$ ist, also wenn ihre Differenzen gleich sind.
Damit ist die Aequivalenzklasse von $(x, y)$ mit $x - y =: r$ gerade die Gerade im [mm] $\IR^2$, [/mm] welche aus Punkten $(x', x' - r)$, $x' [mm] \in \IR$ [/mm] besteht!
LG Felix
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