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Forum "Analysis des R1" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Do 05.11.2009
Autor: Ayame

Aufgabe
Es seien (S,K) ein Graph und s,t [mm] \in [/mm] S. Ein Weg von s nach t ist ein Tupel [mm] (s_{0},...,s_{k}) [/mm] mit [mm] s_{0}=s, s_{k}=t [/mm] und [mm] (s_{i-1},s_{i}) \in [/mm] K, i=1,...,k. Wir sagen s,t [mm] \in [/mm] S sind verbindbar, wenn es einen weg von s nach t gibt, und definieren die Relation ~ auf S durch

s ~ t : [mm] \gdw [/mm] (s=t) [mm] \vee [/mm] (s und t sind verbindbar)

Weisen sie nach dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

ich weiß ja wie man feststellt ob eine relation eine äuivalenzrelation ist : reflexiv, symmetrisch, transitiv.


Aber wie soll ich es an diesem beispiel machen ?
Könnte mir da jemand helfen ??

        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Do 05.11.2009
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Reflexivität überlass ich dir, das ist ein Zweizeiler ;-)
ÄR zeigen ist meistens gar nicht so schwer, wenn man stupide die Definitionen anwendet.

Mal als Beispiel die Transitivität:

Sei [mm] $a\sim [/mm] b$ und $b [mm] \sim [/mm] c$, z.z. [mm] $a\sim [/mm] c$.

Nun können ja drei Fälle auftreten.

1.) a=b, b=c

2.) a=b, b und c sind verbindbar

3.) a und b sind verbindbar, b und c sind verbindbar

Ich mach mal den dritten, die beiden anderen überlasse ich dir:

i) a und b sind verbindbar, d.h es gibt Tupel [mm] $(s_0=a, [/mm] ... , [mm] s_n=b)$ [/mm] mit [mm] $(s_{j-1},s_j) \in [/mm] K$

ii) b und c sind verbindbar, d.h. es gibt Tupel [mm] $(t_0=b, [/mm] ... , [mm] t_m=c)$ [/mm]  und [mm] $(t_{j-1},t_j) \in [/mm] K$

Nun nehmen wir das Tupel:

[mm] $(h_0=s_0=a,...,h_n=s_n=b=t_0,...,h_{n+m}=t_m)$ [/mm] und hierfür gilt nun natürlich, dass jeweils [mm] $(h_{j-1},h_j) \in [/mm] K$ (warum?), d.h. [mm] $a\sim [/mm] c$ => transitiv.

Nun mach mal weiter.
MFG,
Gono

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