Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 23.04.2005 | | Autor: | krad |
Sei M eine Menge und seien R1, R2 zwei Äquivalenzrelationen auf M.
Zeigen Sie, daß auch R1 [mm] \cap [/mm] R2 eine Äquivalenzrelation auf M ist.
Geben Sie auf der Menge M = {1, 2, 3} zwei Äquivalenzrelationen R1
und R2 an, so daß R1 [mm] \cup [/mm] R2 keine Äquivalenzrelation auf M ist.
Ich kenne die Def. von Äquivalenzrelation aber ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss. Wäre nett wenn jemand mir helfen könnte, Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo krad,
die Mengen R1 und R2 sind wie folgt definiert:
[mm]R1 = \{ (x,y) \in M \times M | x \sim_{R1} y \} \subseteq M \times M[/mm]
[mm]R2 = \{ (x,y) \in M \times M | x \sim_{R2} y \} \subseteq M \times M[/mm]
Nun musst du zeigen, dass [mm]R1 \cap R2[/mm] die Eigenschaften der Reflexivität, Symetrie und Transitivität erfüllt. Also konkret:
1) ist [mm](x,x) \in R1 \cap R2[/mm] ?
2) ist mit [mm](x,y) \in R1 \cap R2[/mm] auch [mm](y,x) \in R1 \cap R2[/mm]?
3) ist mit [mm](x,y) \in R1 \cap R2[/mm] und [mm](y,z) \in R1 \cap R2[/mm] auch [mm](x,z) \in R1 \cap R2[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 24.04.2005 | | Autor: | Ricochet |
soweit so gut....
Habe dasselbe Anliegen allerding zu der zweiten Aufgabe:
das man halt zu der Menge ={1,2,3} die Ä.Relationen R1 und R2 finden soll,
so dass gilt: R1 [mm] \cup [/mm] R2 ist keine Ä.relation auf M.
Wie soll ich dass denn jetzt aufschreiben:
Wieder mit Reflex, symm und trans. oder muss ich da irgendwie ne Zahl ausrechnen. Geht das überhaupt wenn die beiden relationen in der Menge M liegen müssen sie doch auch zwangsweise in der Vereinigung von R1 und R2 liegen oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 So 24.04.2005 | | Autor: | Nam |
Betrachte doch mal
[mm]R1 = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}[/mm] und
[mm]R2 = \{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}[/mm]
Ist dann [mm]R1 \cup R2[/mm] auch eine Äquivalenzrelation?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 24.04.2005 | | Autor: | Ricochet |
ich würde mal sagen ja.
weil: R1 [mm] \cup [/mm] R2 = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}
und insbesondere die letzten 4 Tupel lassen sich ja mithilfe der
Symmetrie Transitivität beweisen.
So würde ich das sehen, aber wahrscheinlich komplett falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 24.04.2005 | | Autor: | Nam |
Nein, das ist eben KEINE Äquivalenzrelation.
Schau mal: [mm](1,2), (2,3) \in R1 \cup R2[/mm]
Welcher Tupel müsste laut Transitivität nun noch in [mm]R1 \cup R2[/mm] sein? Ja, die 1 müsste auch in Relation zur 3 stehen. Aber [mm](1,3),(3,1)[/mm] sind nicht in [mm]R1 \cup R2[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 24.04.2005 | | Autor: | Ricochet |
ahhh ok das leuchtet mir ein,...
danke!!
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