Äquivalenzrelation < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für eine reelle Zahl x bezeichnen wir mit [x] den ganzzahligen Anteil von x, also die (eindeutig bestimmte) ganze Zahl n mit n [mm] \le [/mm] x < n+1.
Wir definieren nun eine Relation ~ auf [mm] \IR [/mm] vermöge x ~ y [mm] :\gdw [/mm] [x]=[y].
i) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
ii) Zeigen Sie, das die offenen Teilmengen von [mm] \IR/\sim [/mm] gerade [mm] \emptyset, \IR/\sim [/mm] sowie die Bilder halbunendlicher Intervalle [mm] ]-\infty,n], [/mm] n [mm] \in \IZ, [/mm] unter der Projektion [mm] \IR \to \IR/\sim [/mm] sind.
iii) Die Abbildung [mm] \IR/\sim \to \IZ, [/mm] [x] [mm] \mapsto [/mm] [x], die jeder Klasse ihren ganzzahligen Vertreter zuordnet, ist eine Bijektion. Welche Topologie müssen wir auf [mm] \IZ [/mm] wählen, damit diese auch zu einem Homöomorphismus wird? |
Hi!
ich weiss für gewöhnlich sollte man seine eigenen überlegung hier auch direkt anbringen... nur leider hab ich gerade keine.
mir fehlt sozusagen die intialzündung.
könnte mir bitte jemand auf die sprünge helfen?
ich weiss gerade nicht wie ich die aufgaben am geschicktesten anpacke.
vielen dank schon mal
lg
tinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mi 17.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Tinchen
i) ist einfach. Die Eigenschaften der Aequivalenzrelation folgen aus den Eigenschaften der Gleichheit =.
ii) Sei p die Projektion von [mm] $p:\IR \to \IR/\sim$, [/mm] dann ist eine Meng [mm] $U\subset \IR/\sim$ [/mm] genau dann offen, wenn [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] offen in [mm] $\IR$ [/mm] ist. Betrachte jetzt
[mm] $[x]/\sim\ \in \IR/\sim$. [/mm] Was fuer eine Menge ist [mm] $p^{-1}([x])$ [/mm] in [mm] $\IR$?
[/mm]
Fuer eine beliebige Menge in [mm] $\IR/\sim$ [/mm] setzt sich das Urbild in [mm] $\IR$ [/mm] aus Mengen der Form [mm] $p^{-1}([x])$ [/mm] in [mm] $\IR$? [/mm] zusammen.
iii) Lies ii) genau durch, dort sind die offenen Mengen ja gerade charakterisiert worden.
mfG Moudi
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