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| Aufgabe | Wir betrachten die folgende Realtion auf der Menge [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] :
( [mm] n_{1} [/mm] , [mm] n_{2} [/mm] ) ~ ( [mm] m_{1} [/mm] , [mm] m_{2} [/mm] ) [mm] \gdw n_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] m_{1}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
b) Enthält jede Äquivalenzklasse ein Element der Art (n,1)?
c) Konstruieren Sie eine bijektive Abbildung zwischen [mm] \IZ [/mm] und der Menge der Äquivalenzklassen.
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Sorry, aber da habe ich überhaupt keinen Ansatz.
Ich muss ja sicherlich wieder auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität prüfen. Aber wie?
bei b und c finde ich keinen Ansatz...
HILFE...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wir betrachten die folgende Realtion auf der Menge [mm]\IN[/mm] x
> [mm]\IN[/mm] :
> ( [mm]n_{1}[/mm] , [mm]n_{2}[/mm] ) ~ ( [mm]m_{1}[/mm] , [mm]m_{2}[/mm] ) [mm]\gdw n_{1}[/mm] + [mm]m_{2}[/mm]
> = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]m_{1}[/mm]
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> a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
> b) Enthält jede Äquivalenzklasse ein Element der Art
> (n,1)?
> c) Konstruieren Sie eine bijektive Abbildung zwischen [mm]\IZ[/mm]
> und der Menge der Äquivalenzklassen.
>
> Sorry, aber da habe ich überhaupt keinen Ansatz.
>
> Ich muss ja sicherlich wieder auf Reflexivität, Symmetrie
> und Transitivität prüfen. Aber wie?
Hallo,
Du mußt bedenken, daß die Elemente heir Zahlenpaare sind
Für die reflexivität mußt Du also schauen, ob
[mm] (n_1, n_2)\sim (n_1, n_2) [/mm] gilt.
Auch bei Symmetrie und Transitivität hast Du es mit Zahlenpaaren zu tun.
>
> bei b und c finde ich keinen Ansatz...
Die kommen sinnigerweise erst dran, wenn das andere vestanden ist.
Gruß v. Angela
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> HILFE...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Gut, also prüfe ich auf Reflexivität.
Es ist zu prüfen, ob für alle n1, n2 [mm] \in \IN [/mm] auch n1,n2Rn1,n2 gilt.
Gilt für n1,n2 [mm] \in \IN, [/mm] dass n1+n2=n2+n1?
Das stimmt, da n1+n2=n2+n1 für jedes n1,n2 [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Symmetrie:
Wenn n1,n2,m1,m2 [mm] \in \IN [/mm] so sind, dass n1,n2Rm1,m2. Gilt dann auch m1,m2Rn1,n2?
n1+m2=n2+m1
gleich zu
m1+n2=m2+n1
Daher symmetrisch
Transitivität:
Aber wie stelle ich das jetzt da?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:57 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, also prüfe ich auf Reflexivität.
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> Es ist zu prüfen, ob für alle n1, n2 [mm]\in \IN[/mm] auch
> [mm] $\blue{(}n1,n2\blue{)}R\blue{(}n1,n2\blue{)}$ [/mm] gilt.
Ist Dir klar, warum ich da Klammern gesetzt habe? Wörtlich ist hier eigentlich die Frage:
Gilt für alle $n [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] auch $nRn$? Und $n [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $n=(n_1,n_2)$ [/mm] mit [mm] $n_1,n_2 \in \IN\,.$
[/mm]
> Gilt für n1,n2 [mm]\in \IN,[/mm] dass n1+n2=n2+n1?
>
> Das stimmt, da n1+n2=n2+n1 für jedes alle n1,n2 [mm]\in \IN[/mm] gilt. (Oder Du müßtest schreiben: Für jedes [mm] $(n_1,n_2) \in \IN \times \IN\,.$)
[/mm]
Aber bis auf die Wortwahl ist das ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Symmetrie:
>
> Wenn n1,n2,m1,m2 [mm]\in \IN[/mm] so sind, dass [mm] $\blue{(}n1,n2\blue{)}R\blue{(}m1,m2\blue{)}$. [/mm] Gilt
> dann auch [mm] $\blue{(}m1,m2\blue{)}R\blue{(}n1,n2\blue{)}$?
[/mm]
>
> n1+m2=n2+m1
>
> gleich zu liefert (hier geht auch: ist äquivalent zu)
>
> m1+n2=m2+n1
>
>
> Daher symmetrisch
Naja, hier könnte man schreiben:
m1+n2=m2+n1 [mm] $\underset{\text{nach Definition von }R}{\Longrightarrow}$ [/mm] $(m1,m2)R(n1,n2)$
Aber im Prinzip war das auch
> Transitivität:
Du hast doch nun folgendes zu tun:
Es ist zu prüfen, ob für alle $m,n,p [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt:
Wenn $mRn$ und [mm] $nRp\,$: [/mm] Gilt dann auch schon $mRp$?
Also:
Gilt für alle [mm] $m_1,m_2,n_1,n_2,p_1,p_2 \in \IN$:
[/mm]
Wenn [mm] $(m_1,m_2)R(n_1,n_2)$ [/mm] und [mm] $(n_1,n_2)R(p_1,p_2)$ [/mm] gilt: Gilt dann auch schon [mm] $(m_1,m_2)R(p_1,p_2)\,.$
[/mm]
Also: Vorausgesetzt wird nun, dass folgende zwei Gleichungen gelten:
(I) [mm] $m_{1}+n_{2} =m_{2} [/mm] +n _{1} $
(II) [mm] $n_{1}+p_{2} =n_{2} [/mm] +p _{1} $
Du Frage ist nun: Kann man aus (I) und (II) schon folgern, dass auch
[mm] $$(\star)\;\;\;m_{1}+p_{2} =m_{2} [/mm] +p [mm] _{1}\; [/mm] ?$$
(Tipp: Z.B. kann man (I) und (II) mal addieren.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Do 06.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Hat denn auch hier keiner eine Idee?
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