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| Aufgabe | Ist R eine Äquivalenzrelation auf der Menge X?
[mm] X=\IZ [/mm] ; xRy genau dann, wenn |y-x| [mm] \le [/mm] 3
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Also, ich muss ja hier überprüfen, ob das ganze reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
relfexiv:
|x-x| [mm] \le [/mm] 3
0 [mm] \le [/mm] 3
damit ist es reflexiv
symmetrisch:
|y-x| [mm] \gdw [/mm] |x-y|
das stimmt auch... Reicht das als Begründung?
transitiv:
|y-x| [mm] \gdw [/mm] |y-z| [mm] \gdw [/mm] |x-z|
müsste doch auch stimmen. Reicht das als Begründung?
Hat jemand generell einen Tipp für mich, wie ich an sowas rangehen muss?
Wenn ich in der Vorlesung sitze, ist mir alles klar, nur in der praxis habe ich arge probleme.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also Du solltest hier schon genau arbeiten:
Hier war [mm] $X=\IZ$ [/mm] und $xRy$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|y-x| [mm] \le 3\,.$
[/mm]
Nicht, dass Deine Ausführungen komplett falsch wären, aber sie sind eigentlich etwas spärlich aufgeschrieben und teilweise ist die Notation zu bemängeln (so meinst Du z.B. nicht $|x-y| [mm] \red{\gdw} |y-x|\,,$ [/mm] sondern [mm] $|x-y|\blue{=}|y-x|$):
[/mm]
Zur Reflexivität:
Es ist zu prüfen, ob für alle $x [mm] \in [/mm] X$ auch $xRx$ gilt. Also:
Gilt für alle $x [mm] \in \IZ$, [/mm] dass $|x-x| [mm] \le [/mm] 3$? Das stimmt offensichtlich, da $|x-x|=0 [mm] \le [/mm] 3$ für jedes $x [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt.
Zur Symmetrie:
Hier ist die Frage:
Wenn $x,y [mm] \in [/mm] X$ so sind, dass [mm] $xRy\,.$ [/mm] Gilt dann auch $yRx$? Also:
Wenn $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] so sind, dass $|y-x| [mm] \le [/mm] 3$: Gilt dann auch $|x-y| [mm] \le [/mm] 3$? Und die Antwort ist natürlich schon so, wie Du sagst, nur Deine Notation:
$|y-x|$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x-y|$ macht keinen Sinn.
Du sagst besser:
Weil $|x-y|=|y-x|$ für alle $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] (das gilt ja sogar auch in [mm] $\IR$), [/mm] folgt:
Sind nun $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $xRy$. Dann folgt $|y-x| [mm] \le [/mm] 3$. Daraus folgt dann auch sofort $|y-x|=|x-y| [mm] \le 3\,,$ [/mm] also $|x-y| [mm] \le 3\,.$ [/mm] Also gilt [mm] $yRx\,.$
[/mm]
Zur Transitivität:
Die ist hier verletzt. Es reicht, ein Gegenbeispiel anzugeben:
Sei $x=1$ und [mm] $y=3$\,. [/mm] Ferner sei [mm] $z=5\,.$ [/mm] Dann sind $x,y,z [mm] \in \IZ=X\,.$ [/mm] Weiter gilt wegen $|y-x|=2 [mm] \le [/mm] 3$ hier $xRy$ und wegen $|z-y|=2 [mm] \le [/mm] 3$ dann [mm] $yRz\,.$ [/mm] Wäre aber $xRz$, so müsste auch $|z-x| [mm] \le [/mm] 3$ gelten. Ist letztgenanntes denn erfüllt?
Generell der Tipp:
Orientiere Dich an der ![[]](/images/popup.gif) formalen Definition der Äquivalenzrelation und lese das wirklich Wort für Wort.
Z.B. steht bei der Symmetrie (in Eurer Notation): Für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$, für die auch $xRy$ gilt, gilt auch [mm] $yRx\,.$
[/mm]
Es ist eine Standardaufgabe, zu fragen:
Warum liefern die Symmetrie und die Transitivität nicht zusammen auch die Reflexivität bei einer Äquivalenzrelation? Da sollte man obiges nochmal genau lesen, dann sieht man es.
Gruß,
Marcel
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> Zur Transitivität:
> Die ist hier verletzt. Es reicht, ein Gegenbeispiel
> anzugeben:
> Sei [mm]x=1[/mm] und [mm]y=3[/mm][mm] \,.[/mm] Ferner sei [mm]z=5\,.[/mm] Dann sind [mm]x,y,z \in \IZ=X\,.[/mm]
> Weiter gilt wegen [mm]|y-x|=2 \le 3[/mm] hier [mm]xRy[/mm] und wegen [mm]|z-y|=2 \le 3[/mm]
> dann [mm]yRz\,.[/mm] Wäre aber [mm]xRz[/mm], so müsste auch [mm]|z-x| \le 3[/mm]
> gelten. Ist letztgenanntes denn erfüllt?
Nach Deiner Ausführung ist also die Transitivität nicht gegeben, weil dann ja beim letzten Schritt rauskäme: 4 [mm] \le [/mm] 3, und das ist ja falsch.
Habe ich das so richtig verstanden? Ich werde mir mal Deinen Link anschauen!
Danke sehr!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Zur Transitivität:
> > Die ist hier verletzt. Es reicht, ein Gegenbeispiel
> > anzugeben:
> > Sei [mm]x=1[/mm] und [mm]y=3[/mm][mm] \,.[/mm] Ferner sei [mm]z=5\,.[/mm] Dann sind [mm]x,y,z \in \IZ=X\,.[/mm]
> > Weiter gilt wegen [mm]|y-x|=2 \le 3[/mm] hier [mm]xRy[/mm] und wegen [mm]|z-y|=2 \le 3[/mm]
> > dann [mm]yRz\,.[/mm] Wäre aber [mm]xRz[/mm], so müsste auch [mm]|z-x| \le 3[/mm]
> > gelten. Ist letztgenanntes denn erfüllt?
>
> Nach Deiner Ausführung ist also die Transitivität nicht
> gegeben, weil dann ja beim letzten Schritt rauskäme: 4 [mm]\le[/mm]
> 3, und das ist ja falsch.
genauso ist es. Ich habe drei ganze Zahlen $x,y,z$ gefunden (und zwar $x=1$, $y=3$ und $z=5$), für die zwar $xRy$ und $yRz$ gilt, aber eben nicht [mm] $xRz\,.$ [/mm] Und dass nicht $xRz$ gilt, das folgt, weil, wenn $xRz$ gelten würde, dann die Konsequenz wäre:
$$|z-x| [mm] \le [/mm] 3$$
bzw.
$$4 [mm] \le 3\,.$$
[/mm]
Das ist aber bekanntlich Humbug, da $4 > 3$ ist.
> Habe ich das so richtig verstanden? Ich werde mir mal
> Deinen Link anschauen!
> Danke sehr!
Ja, ich wollte es nun nur nocheinmal unmissverständlich in Worten ausdrücken. Ich denke, dass sollte gerade Anfangs helfen. Da benutzt man besser zu viele Worte als zuwenig (und mit mathematischen Symbolen will ich Dich ja auch nicht gleich erschlagen  ).
Also: Dein Gedankengang war ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Do 06.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Ihr seit total Klasse!!
Danke schön!
Ich werde glaube ich noch öfters eure Hilfe brauchen!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Siehe hier. Weitere Fragen kannst Du natürlich gerne an den Thread hier anhängen. Aber eigentlich sollte die Frage (zunächst) damit vollständig beantwortet sein.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wieso sollte das äquivalent sein? Du hast ja ganz andere Variablen in den einzelnen Beträgen stehen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
