Äquivalenzrelation < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Wensch |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{M}:=\{M\subset \IR^n | M messbar \}. [/mm] Auf [mm] \mathcal{M} [/mm] definieren wir eine Relation durch:
M [mm] \sim [/mm] N [mm] \Leftrightarrow [/mm] |(M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \backslash [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)|=0
für M,N [mm] \in \mathcal{M}. [/mm] Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation auf [mm] \mathcal{M} [/mm] definiert. |
Meine Idee: Die Relation sagt aus, dass zwei Mengen genau dann in Relation stehen, wenn sie sich nur durch eine Nullmenge unterscheiden.
Seien [mm] M_1, M_2, M_3 \in \mathcal{M}. [/mm]
Es gilt [mm] |(M_1 \cup M_1) \backslash (M_1 \cap M_1)| [/mm] ist per Definition der Mengenlehre [mm] |(M_1)\backslash (M_1)|=|\{\}|=0 \Leftrightarrow M_1 \sim M_1 \Leftrightarrow [/mm] Reflexivität.
Gelte [mm] M_1 :\sim M_2 \Leftrightarrow |(M_1 \cup M_2) \backslash (M_1 \cap M_2)|=0. [/mm] Nach Kommutativgesetz der Mengenlehre gilt dann:
[mm] 0=|(M_1 \cup M_2) \backslash (M_1 \cap M_2)|=|(M_2 \cup M_1) \backslash (M_2 \cap M_1)| \Leftrightarrow M_2 \sim M_1 \Leftrightarrow [/mm] Symmetrie.
Bei der Transitivität fehlt mir jetzt der zündende Gedanke. Ich weiß, dass für [mm] M_1, M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] gilt:
[mm] |M_1|=|M_1 \cap M_i|+|M_i \backslash M_1|, [/mm] i=2,3
[mm] |M_2|=|M_2 \cap M_i|+|M_i \backslash M_2|, [/mm] i=1,3
[mm] |M_3|=|M_3 \cap M_i|+|M_i \backslash M_3|, [/mm] i=1,2, dies folgt direkt aus der Definition der Messbarkeit.
Gelte nun: [mm] M_1 :\sim M_2 [/mm] und [mm] M_2 :\sim M_3.
[/mm]
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Sa 17.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei
[mm] $A:=(M_1 \cup M_3) \setminus (M_1 \cap M_3)$,
[/mm]
[mm] $B:=(M_1 \cup M_2) \setminus (M_1 \cap M_2)$
[/mm]
und
[mm] $C:=(M_2 \cup M_3) \setminus (M_2 \cap M_3)$.
[/mm]
Zeige:
$A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \cup [/mm] C$
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:39 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Wensch |
Okay, da komme ich am Ende auf diese Zeile:
[mm] (M_2 \cap \overline{(M_1 \cup M_3)}) \cup (\overline{M_2}\cap(M_1 \cup M_3))
[/mm]
Wie kann ich weiter machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 19.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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