Äquivalenzrel. fehlerh. Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Smasal |
| Aufgabe | Behauptung: wenn eine relation symmetrisch und transitiv ist, so ist sie auch reflexiv, also eine äquivalenzrelation.
Beweis: Sei ~ ein symmetrische und transitive relation auf einer Menge X. sei x X beliebig, und sei x ~ y. wegen der symmetrie ist dann y ~ x, und aufgrund der transitivität folgt dann auch x ~ x. also ist ~ reflexiv. Man finde den Fehler im Beweis. |
Hallo, habe heute folgende Aufgabe auf dem Übungszettel und kann den Fehler absolut nicht finden. Habe mir auch schon alle Definitionen angeschaut.
Liegt der Fehler etwa darin, dass x~x für alle [mm] x\inM [/mm] gelten muss, x~y aber nicht für alle oder wie genau ist das gedacht?
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Hi!
Der Fehler liegt bereits in der Behauptung. Denn was ist per definition eine Äquivalenzrelation? Lg
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Ich muss zugeben, dass ich diese Antwort nicht nachvollziehen kann... klar, eine Äquivalenzrelation ist per Definition reflexiv, symmetrisch und transitiv, aber die Frage war ja eben, warum es nicht reicht, nur die Symmetrie und Transitivität zu fordern, da die Reflexivität ja aus diesen beiden schon folgt, wenn man dem Beweis da glaubt...
...woraus folgt, dass man misstrauisch sein sollte. Der Beweis enthält tatsächlich einen Fehler und die Fährte stimmte auch schon: sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig. Wenn es dann ein $y [mm] \in [/mm] X$ gibt mit $x [mm] \sim [/mm] y$, dann folgt tatsächlich $x [mm] \sim [/mm] x$, aber die Existenz eines solchen Elementes $y$ ist eben nicht gesichert... anders gesagt: eine symmetrische und transitive Relation kann eben auch Elemente $x [mm] \in [/mm] X$ besitzen, für die [mm] $\{y \in X : y \sim x \}$ [/mm] leer ist.
Im Extremfall ist diese Menge sogar für alle Elemente leer... Übung: die "leere Relation [mm] $\sim$", [/mm] also diejenige für die $x [mm] \not\sim [/mm] y$ für alle $x, y [mm] \in [/mm] X$ gilt ist symmetrisch und transitiv, aber sicher nicht reflexiv und daher auch keine Äquivalenzrelation.
Alles klar? 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mo 27.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
hab mir mal erlaubt die zweite (und richtige) Antwort als solche zu kennzeichnen, wobei ich darauf verzichtet habe, die erste Antwort auf falsch zu setzen (denn in der behauptung steht nix davon, dass eine Äquivalenzrelation vorrausgesetzt ist)
Aber HIER wurde das Thema auch schonmal behandelt.
viele Grüße
DaMenge
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