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| Aufgabe | Wieviele Ähnlichkeitsklassen gibt in folgenden Endomorphismenmengen?
a)Nilpotente Endomorphismen auf [mm] (\IZ/17*\IZ)^4
[/mm]
b)Endomorphismen des [mm] \IQ^5 [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] (X-1)^3*(X+2)^2
[/mm]
c)Endomorphismen des [mm] \IQ^5 [/mm] mit Minimalpolynom [mm] (X+1)^2*(X-3) [/mm] |
Hallo,
Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.Ich wäre für jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße
eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Fr 23.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo eva maria!
> Wieviele Ähnlichkeitsklassen gibt in folgenden
> Endomorphismenmengen?
>
> a)Nilpotente Endomorphismen auf [mm](\IZ/17*\IZ)^4[/mm]
> b)Endomorphismen des [mm]\IQ^5[/mm] mit charakteristischem Polynom
> [mm](X-1)^3*(X+2)^2[/mm]
> c)Endomorphismen des [mm]\IQ^5[/mm] mit Minimalpolynom
> [mm](X+1)^2*(X-3)[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen
> soll.Ich wäre für jeden Tipp dankbar.
Das Stichwort lautet: Jordansche Normalform.
Wenn du weitere fragen hast, beantworte erstmal diese beiden hier:
1) Was hat die Jordansche Normalform mit Aehnlichkeit zu tun?
2) Was haben die oben angegebenen Eigenschaften (Nilpotent, char. Poly, Minimalpolynom) mit der Jordanschen Normalform zu tun?
LG Felix
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Hallo Felix,
Danke für deinen tipp!
Also zu deiner 1. Frage,würde ich sagen,dass eine Matrix A ähnlich zu ihrer Jordan-normalform ist,da ja T*A*T^-1=J gilt.
Zu der 2. Frage,jede nilpotente Matrix ist ähnlich zu einer echten oberen Dreiecksmatrix(also besitzt eine Jordan-normalform?)Jede nilpotente Matrix hat den Eigenwert=0.Das charakteristische Polynom gibt die Eigenwerte an die auf der Diagonalen der Jordanmatrix stehen und das Minimalpolynom gibt mit seiner algebraischen Vilefachheit die Größe der Jordanblöcke an.
Jetzt weiß ich aber immer noch nicht,was Ähnlichkeitsklassen sind und wie ich weiter machen kann.
LG
eva marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 So 25.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo eva marie!
> Danke für deinen tipp!
> Also zu deiner 1. Frage,würde ich sagen,dass eine Matrix A
> ähnlich zu ihrer Jordan-normalform ist,da ja T*A*T^-1=J
> gilt.
Exakt. Und zu wievielen Jordanschen Normalformen kann $A$ aehnlich sein?
> Zu der 2. Frage,jede nilpotente Matrix ist ähnlich zu einer
> echten oberen Dreiecksmatrix(also besitzt eine
> Jordan-normalform?) Jede nilpotente Matrix hat den
> Eigenwert=0.
Du meinst, sie hat _nur_ den Eigenwert 0. Das char. Polynom ist hier also [mm] $X^4$. [/mm] Damit zerfaellt dieses insbesondere in Linearfaktoren und die Matrix besitzt eine Jordansche Normalform.
> Das charakteristische Polynom gibt die
> Eigenwerte an die auf der Diagonalen der Jordanmatrix
> stehen
Genau.
> und das Minimalpolynom gibt mit seiner algebraischen
> Vilefachheit die Größe der Jordanblöcke an.
Nein, nur die Vielfachheit des groessten Blockes zum Eigenwert.
> Jetzt weiß ich aber immer noch nicht,was
> Ähnlichkeitsklassen sind und wie ich weiter machen kann.
Die Aehnlichkeitsklasse einer Matrix ist die Menge aller Matrizen, die aehnlich zu dieser Matrix sind. Jetzt ueberleg dir mal, wieviele Jordansche Normalformen es in einer Aehnlichkeitsklasse gibt.
LG Felix
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Hallo Felixf!
Danke!Zu der Teilaufgabe a) könnte man da einfach so argumentieren,da das charakteristische Polynom hier [mm] X^4 [/mm] ist,da nilpotent,ex.eine Jordan-Normalform und damit eine Ähnlichkeitsklasse?
Zu der b),da das charakt.Polynom in Linearfaktoren zerfällt und alle Eigenwerte im Körper [mm] \IQ^5 [/mm] liegen,ex.eine Jordannormalform und damit eine Ähnlichkeitsklasse oder ex.mehr Klassen?Vielleicht noch eine Diagonalmatrix,dann wären es 2 Klassen?
Bei der c)würde ich dann ähnlich argumentieren.
LG eva marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 25.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo eva maria!
Beantworte doch noch bitte meine Frage:
> Jetzt ueberleg dir mal, wieviele Jordansche Normalformen es in einer Aehnlichkeitsklasse gibt.
> Danke!Zu der Teilaufgabe a) könnte man da einfach so
> argumentieren,da das charakteristische Polynom hier [mm]X^4[/mm]
> ist,da nilpotent,ex.eine Jordan-Normalform und damit eine
> Ähnlichkeitsklasse?
Meinst du genau eine oder mindestens eine?
> Zu der b),da das charakt.Polynom in Linearfaktoren
> zerfällt und alle Eigenwerte im Körper [mm]\IQ^5[/mm] liegen,ex.eine
> Jordannormalform
Genau.
> und damit eine Ähnlichkeitsklasse oder
> ex.mehr Klassen?
Gut moeglich. Beantworte doch bitte meine obige Frage.
> Vielleicht noch eine Diagonalmatrix,dann
> wären es 2 Klassen?
Wieviele verschiedene Jordansche Normalformen kennst du denn, die genau dieses char. Polynom haben?
LG Felix
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Hallo Felix!
Um deine Frage zu beantworten,es gibt zu jeder Matrix nur EINE Jordanform und dazu das eine charakteristische Polynom aber könnte es nicht noch mehr Matrizen geben die in der Ähnlickeitsklasse einer Matrix enthalten sind,zb. die Diagonalmatrix der Matrix,oder ist die ein Spezialfall einer Jordanmatrix?
LG eva marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 25.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo eva maria!
> Um deine Frage zu beantworten,es gibt zu jeder Matrix nur
> EINE Jordanform
Genau!
> und dazu das eine charakteristische Polynom
> aber könnte es nicht noch mehr Matrizen geben die in der
> Ähnlickeitsklasse einer Matrix enthalten sind,zb. die
> Diagonalmatrix der Matrix,oder ist die ein Spezialfall
> einer Jordanmatrix?
Klar, in einer Klasse liegen normalerweise sehr viele Matrizen. Naemlich alle von der Form [mm] $T^{-1} [/mm] A T$ mit $T$ invertierbar.
Allerdings ist nur genau eine davon eine Jordansche Normalform, der Rest nicht!
Anders gesagt: wenn du alle Aequivalenzklassen zaehlen willst, kannst du auch genauso gut die Jordanschen Normalformen zaehlen.
Bei (a) musst du also alle Matrizen in Jordanscher Normalform zaehlen (bis auf Vertauschen der Bloecke!), die auf der Diagonalen nur Nullen haben.
LG Felix
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Hallo,
Totaler Quatsch den ich geschrieben habe,liegt wohl an der Uhrzeit.Beschäftige mich vlt morgen nochmal damit.danke
LG
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