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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Dongo |
| Aufgabe | Sei F prädikatenlogische Formel. Zeigen Sie die Äquivalenz.
[mm] \neg (\forall [/mm] x: F) [mm] \equiv \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] F |
Mein Lösung ist:
[mm] \mathcal{A} (\neg (\forall [/mm] x: F)) = 1
gdw. nicht (für alle d [mm] \in [/mm] Ua gilt [mm] \mathcal{A} [/mm] [x/d] (F) =1)
gdw. es gibt ein d [mm] \in [/mm] Ua mit [mm] \mathcal{A} [/mm] [x/d] [mm] (\neg [/mm] F) =1)
gdw. [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] F = 1
Ist das so richtig? Bin mir mit dem reinziehen der Negation nicht sicher und nicht das ich da noch einen Schritt vergessen habe.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 12.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Dongo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Ich kenne eure genauen Notationen nicht. Daher kann ich deine Notationen nicht überprüfen. Habt ihr vielleicht ein im Internet stehendes Skript? Ich versuche nun anhand deiner Lösung die Notationen zu erraten.
> Sei F prädikatenlogische Formel. Zeigen Sie die
> Äquivalenz.
>
> [mm]\neg (\forall[/mm] x: F) [mm]\equiv \exists[/mm] x: [mm]\neg[/mm] F
Sei F eine L-Formel. Seien sämtliche in $F$ vorkommende freie Variablen unter [mm] $x,y_1,\ldots,y_n$ [/mm] und seien [mm] $x,y_1,\ldots,y_n$ [/mm] paarweise verschieden. (Dafür verwendet man üblicherweise die Notation [mm] $F(x,y_1,\ldots,y_n)$.)
[/mm]
Ich nehme mal an, ihr habt für $L$-Formeln [mm] $G(x_1,\ldots,x_n)$ [/mm] und [mm] $H(x_1,\ldots,x_n)$ [/mm] definiert, dass [mm] $G\equiv [/mm] H$ genau dann gilt, wenn für alle L-Strukturen [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] mit Träger [mm] $U_\mathfrak{A}$ [/mm] und alle [mm] $a_1,\ldots,a_n\in U_\mathfrak{A}$ [/mm] gilt:
[mm] $\mathfrak{A}[x_1/a_1,\ldots,x_n/a_n](G)=\mathfrak{A}[x_1/a_1,\ldots,x_n/a_n](H)$.
[/mm]
Sei nun [mm] $G:=\neg(\forall x\colon [/mm] F)$ und [mm] $H:=\exists x\colon\neg [/mm] F$. Dann gilt [mm] $G(y_1,\ldots,y_n)$ [/mm] und [mm] $H(y_1,\ldots,y_n)$.
[/mm]
Seien also [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] eine $L$-Struktur mit Träger [mm] $U_\mathfrak{A}$ [/mm] und seien [mm] $a_1,\ldots,a_n\in U_\mathfrak{A}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $\mathfrak{A}[y_1/a_1,\ldots,y_n/a_n](G)=\mathfrak{A}[y_1/a_1,\ldots,y_n/a_n](H)$.
[/mm]
> Mein Lösung ist:
>
> [mm]\mathcal{A} (\neg (\forall[/mm] x: F)) = 1
> gdw. nicht (für alle d [mm]\in[/mm] Ua gilt [mm]\mathcal{A}[/mm] [x/d] (F)
> =1)
Beim ersten gdw. würde ich einen Zwischenschritt einfügen, indem du zunächst nur das [mm] $\neg$ [/mm] bearbeitest.
> gdw. es gibt ein d [mm]\in[/mm] Ua mit [mm]\mathcal{A}[/mm] [x/d] [mm](\neg[/mm] F)
> =1)
Auch hier wäre ein Zwischenschritt sinnvoll: "... mit [mm] $\mathfrak{A}[x/d](F)\not=1$".
[/mm]
> gdw. [mm]\exists[/mm] x: [mm]\neg[/mm] F = 1
Hier hast du [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] vergessen.
Ansonsten ist die Lösung im Falle "$F$ enthält außer möglicherweise $x$ keine freien Variablen" korrekt.
Ändere nun deine Lösung so ab, dass $F$ neben x weitere freie Variablen haben kann!
Viele Grüße
Tobias
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